2008年李永乐·李正元考研数学①
数学复习全书
【理工类·数学一】
定价49.80元

再版前言
本书出版、修订八年多来，深受全国广大考生的好评和厚爱，受到专家同行的肯定，认为本书在编写体例上有“特色”，在内容讲解、试题分析与解答上详尽、透彻、易懂，较“适合考生的需要”。我们从反馈的信息中获悉，除报考硕士研究生的考生将本书用作应试复习参考书外，工科类在读大学生也将本书作为数学的学习辅导资料，而教师则作为主要的教学参考用书之一。这既是对我们工作的肯定和鼓励，也是一种鞭策，促使我们对本书进行一次全面修订，以便及时反映当前研究生最新考试信息，更好地适应和满足广大考生和读者考试复习的需要。2008年《数学复习全书》(修订第九版）将以更高的质量和新的面貌呈现在广大学生的面前。
本书2008年版是在2007年版的基础上进行修订的，更加完善，更具有针对性和适用性。
高等数学部分：按考试大纲的要求及绝大多数考生系统复习的需要，本书进行了调整，宗旨是重点内容重点讲解，如：求极限的方法，求积分(一元、多元函数)的方法，牛顿莱布尼兹公式及其应用，二重积分的计算与应用，泰勒公式及其应用，求幂级数的收敛域或收敛区间，幂级数的求和，求函数的幂级数展开式等单独分离出来进行举例讲解，同时调换并增加了若干典型例题，并修改了部分例题的解法，使之更简捷，更易掌握。
线性代数部分：主要是针对一些重点概念和公式的运用，调换并增加了若干例题进行讲解，使考生对这些重点概念和公式能彻底理解、吃透，对一些常考题型，如：抽象行列式的计算，有关伴随矩阵的命题，n阶矩阵的特征值和特征向量以及线性相关与无关的证明、基础解系的证明等题型的解题方法和技巧进一步作了较详尽的归纳总结，并给典型例题进行讲解，消除考生对这些重要概念和公式的运用和常考题型解题方法的疑惑，以便考生在考试中应对自如，提高应试水平。
概率统计部分：与高等数学部分一样也进行了调整，调整后更适合考生进行系统复习，同时对重点概念、公式和常考题型从多角度命制典型例题进行讲解，以提高考生运用概念、公式综合分析能力，从而取得好成绩。
特别需要强调的是，本书题型训练试题均给出了详细解答（见赠书）。

前言
为了使考研同学能在较短时间内全面复习数学，达到硕士学习阶段应具备的数学能力，提高考研应试水平，以合格的数学成绩任国家挑选，作者根据教育部制订的《数学考试大纲》的要求和最新精神，深入研究了近年来考研命题的特点及动态，并结合作者多年来数学阅卷以及全国大部分城市“考研班”辅导的经验，编写了这本《考研数学复习全书》及其姊妹篇《考研数学全真模拟经典400题》。在编写时，作者特别注重与学生的实际相结合，注重与考研的要求相结合。
本书每章均由以下四个部分构成：
一、内容概要与重难点提示——编写该部分的目的主要使考生能明确本章的重点、难点及常考点，让考生弄清各知识点之间的相互联系，以便对本章内容有一个全局性的认识和把握。
二、考核知识要点讲解——本部分对大纲所要求的知识点进行了全面地阐述，并对考试重点、难点以及常考点进行了剖析，指出了历届考生在运用基本概念、公式、定理等知识解题时普遍存在的问题及常犯的错误，同时给出了相应的注意事项，以加深考生对基本概念、公式、定理等重点内容的理解和正确应用。
三、常考题型及其解题方法与技巧——本部分对历年统考中常见题型进行了归纳分类，归纳总结了各种题型的解题方法，注重一题多解，以期开阔考生的解题思路，使所学知识融会贯通，并能综合、灵活地解决问题。
四、题型训练及参考答案——本部分精选了适量的自测题，并附有参考答案和解题提示。只有适量的练习才能巩固所学知识，复习数学必须做题。为了让考生更好地巩固所学知识，提高实际解题能力，作者特优化设计了与真题相仿的实战训练题编写在《考研数学全真模拟经典400题》一书中，以供考生选用。
特别需要强调的是，在98北大百年校庆之际，我们北大数学系63届校友聚会于北大燕园，畅谈中得知我们当中许多同学都在从事本科及研究生数学教学与数学研究工作，并有多年考研辅导的经验以及参加研究生入学考试阅卷的经历，对各类院校的考生有广泛的接触与了解，深知考生在考研数学备考中所面临的困惑。为了帮助考生全面系统并有针对性地复习，在大家的一致建议下，由我们执笔编写了这本《考研数学复习全书》及其姊妹篇《考研数学全真模拟经典400题》，期望对广大考生备考能有所裨益。
本书是考研应试者的良师益友，也是各类院校的学生自学数学、提高数学水平和教师进行教学辅导的一本极有价值的参考书。
由于时间仓促，书中疏漏之处在所难免，诚请专家和读者指正。

目录
第一篇高等数学
第一章极限、连续与求极限的方法（1）
内容概要与重难点提示（1）
考核知识要点讲解（1）
一、极限的概念与性质（1）
二、极限的存在与不存在问题（3）
三、求极限的方法（5）
四、无穷小及其阶（12）
五、函数的连续性及其判断（14）
常考题型及其解题方法与技巧（17）
题型训练（32）
第二章一元函数的导数与微分概念及其计算（34）
内容概要与重难点提示（34）
考核知识要点讲解（34）
一、一元函数的导数与微分（34）
二、按定义求导及其适用的情形（38）
三、基本初等函数导数表与导数四则运算法则（39）
四、复合函数的微分法则（40）
五、由复合函数求导法则导出的微分法则（41）
六、分段函数求导法（43）
七、高阶导数及n阶导数的求法（45）
八、一元函数微分学的简单应用（47）
常考题型及其解题方法与技巧（48）
题型训练（59）
第三章一元函数积分概念、计算及应用（62）
内容概要与重难点提示（62）
考核知识要点讲解（62）
一、一元函数积分的概念、性质与基本定理（62）
二、积分法则（69）
三、各类函数的积分法（76）
四、广义积分（反常积分）（80）
五、积分学应用的基本方法——微元分析法（82）
六、一元函数积分学的几何应用（82）
七、一元函数积分学的物理应用（88）
常考题型及其解题方法与技巧（92）
题型训练（119）
第四章微分中值定理及其应用（121）
内容概要与重难点提示（121）
考核知识要点讲解（121）
一、微分中值定理及其应用（121）
二、利用导数研究函数的变化（123）
三、一元函数的最大值与最小值问题（128）
四、微分中值定理的其他应用（130）
常考题型及其解题方法与技巧（130）
题型训练（152）
第五章一元函数的泰勒公式及其应用（155）
内容概要与重难点提示（155）
考核知识要点讲解（155）
一、带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式（155）
二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法（156）
三、一元函数泰勒公式的若干应用（157）
常考题型及其解题方法与技巧（160）
题型训练（165）
第六章微分方程（166）
内容概要与重难点提示（166）
考核知识要点讲解（166）
一、基本概念（166）
二、一阶微分方程（167）
三、可降阶的高阶方程（169）
四、线性微分方程解的性质与结构（170）
五、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程（171）
六、二阶常系数非齐次线性方程（172）
七、含变限积分的方程（173）
八、应用问题（174）
常考题型及其解题方法与技巧（175）
题型训练（186）
第七章向量代数和空间解析几何（188）
内容概要与重难点提示（188）
考核知识要点讲解（188）
一、空间直角坐标系（188）
二、向量的概念（188）
三、向量的运算（189）
四、平面方程、直线方程（192）
五、平面、直线之间相互关系与距离公式（194）
六、常用二次曲面的方程及其图形（195）
七、空间曲线在坐标平面上的投影（196）
常考题型及其解题方法与技巧（197）
题型训练（204）
第八章多元函数微分学（205）
内容概要与重难点提示（205）
考核知识要点讲解（205）
一、多元函数的概念、极限与连续性（205）
二、多元函数的偏导数与全微分（207）
三、多元函数微分法则（211）
四、复合函数求导法的应用——隐函数微分法（213）
五、复合函数求导法则的其他应用（215）
六、多元函数极值充分判别法（216）
七、多元函数的最大值与最小值问题（218）
八、方向导数与梯度（220）
九、多元函数微分学的几何应用（222）
常考题型及其解题方法与技巧（224）
题型训练（234）
第九章多元函数积分的概念、计算及其应用（238）
内容概要与重难点提示（238）
考核知识要点讲解（238）
一、多元函数积分的概念与性质（238）
二、在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分（242）
三、重积分的变量替换（249）
四、如何应用多元函数积分的计算公式及简化计算（253）
五、多元函数积分学的几何应用（262）
六、多元函数积分学的物理应用（264）
常考题型及其解题方法与技巧（267）
题型训练（294）
第十章多元函数积分学中的基本公式及其应用（298）
内容概要与重难点提示（298）
考核知识要点讲解（298）
一、多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式（298）
二、向量场的通量与散度，环流量与旋度（300）
三、格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算（301）
四、平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题（305）
常考题型及其解题方法与技巧（310）
题型训练（320）
第十一章无穷级数（322）
内容概要与重难点提示（322）
考核知识要点讲解（322）
一、常数项级数的概念与基本性质（322）
二、正项级数敛散性的判定（323）
三、交错级数的敛散性判别法（325）
四、绝对收敛与条件收敛（325）
五、函数项级数的收敛域与和函数（326）
六、幂级数的收敛域（327）
七、幂级数的运算与和函数的性质（328）
八、幂级数的求和与函数的幂级数展开（330）
九、傅里叶级数（332）
常考题型及其解题方法与技巧（334）
题型训练（351）
第二篇线性代数
第一章行列式（354）
内容概要与重难点提示（354）
考核知识要点讲解（354）
一、行列式的概念、展开公式及其性质（354）
二、有关行列式的几个重要公式（358）
三、关于克莱姆（Cramer)法则（359）
常考题型及其解题方法与技巧（360）
题型训练（370）
第二章矩阵及其运算（373）
内容概要与重难点提示（373）
考核知识要点讲解（373）
一、矩阵的概念及几类特殊方阵（373）
二、矩阵的运算（375）
三、矩阵可逆的充分必要条件（376）
四、初等变换（377）
五、初等矩阵（377）
六、矩阵的等价（378）
七、矩阵方程（378）
常考题型及其解题方法与技巧（379）
题型训练（396）
第三章n维向量与向量空间（399）
内容概要与重难点提示（399）
考核知识要点讲解（399）
一、n维向量的概念与运算（399）
二、线性组合与线性表出（400）
三、线性相关与线性无关（401）
四、线性相关性与线性表出的关系（402）
五、向量组的秩与矩阵的秩（402）
六、矩阵秩的重要公式（403）
七、向量空间、子空间与基、维数、坐标（403）
八、基变换与坐标变换（404）
九、规范正交基与Schmidt正交化（405）
常考题型及其解题方法与技巧（405）
题型训练（425）
第四章线性方程组（429）
内容概要与重难点提示（429）
考核知识要点讲解（429）
一、线性方程组的各种表达形式及相关概念（429）
二、基础解系的概念及其求法（429）
三、齐次方程组有非零解的判定（430）
四、非齐次线性方程组有解的判定（430）
五、非齐次线性方程组解的结构（431）
六、线性方程组解的性质（431）
常考题型及其解题方法与技巧（431）
题型训练（445）
第五章矩阵的特征值与特征向量（448）
内容概要与重难点提示（448）
考核知识要点讲解（448）
一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法（448）
二、相似矩阵的概念与性质（450）
三、矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤（450）
常考题型及其解题方法与技巧（452）
题型训练（472）
第六章二次型（475）
内容概要与重难点提示（475）
考核知识要点讲解（475）
一、二次型的概念及其标准形（475）
二、合同矩阵及正定矩阵（477）
常考题型及其解题方法与技巧（478）
题型训练（490）
第三篇概率论与数理统计
第一章随机事件与概率（492）
内容概要与重难点提示（492）
考核知识要点讲解（492）
一、随机事件的关系与运算（492）
二、随机事件的概率（494）
三、全概率公式与贝叶斯公式（497）
四、事件的独立性与伯努利公式（498）
常考题型及其解题方法与技巧（499）
题型训练（509）
第二章随机变量的分布及其概率（512）
内容概要与重难点提示（512）
考核知识要点讲解（512）
一、随机变量与分布函数（512）
二、离散型随机变量与连续型随机变量（513）
三、几个常见分布（514）
四、随机变量函数的分布的求法（518）
常考题型及其解题方法与技巧（519）
题型训练（531）
第三章多维随机变量及其分布（534）
内容概要与重难点提示（534）
考核知识要点讲解（534）
一、多维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数（534）
二、二维离散型随机变量（535）
三、二维连续型随机变量（536）
四、两个常见的二维连续型随机变量的分布（539）
五、二维随机变量的独立性（540）
六、二维随机变量函数的分布的求法（540）
常考题型及其解题方法与技巧（542）
题型训练（557）
第四章随机变量的数字特征（559）
内容概要与重难点提示（559）
考核知识要点讲解（559）
一、一维随机变量的数字特征（559）
二、二维随机变量的数字特征（560）
常考题型及其解题方法与技巧（562）
题型训练（575）
第五章大数定律和中心极限定理（577）
内容概要与重难点提示（577）
考核知识要点讲解（577）
一、大数定律（577）
二、中心极限定理（579）
常考题型及其解题方法与技巧（579）
题型训练（586）
第六章数理统计的基本概念（588）
内容概要与重难点提示（588）
考核知识要点讲解（588）
一、总体、样本、样本的数字特征（588）
二、统计量及抽样分布（589）
常考题型及其解题方法与技巧（592）
题型训练（595）
第七章参数估计和假设检验（597）
内容概要与重难点提示（597）
考核知识要点讲解（597）
一、统计估计（597）
二、假设检验（600）
常考题型及其解题方法与技巧（602）
题型训练（611）