第1章 从一道初级代数题看经济学与数学
马克思曾经说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。经济学也不例外。经济学要运用数学，并且要成功地运用数学。我们从解一道简单的数学题来开始宏观经济学的学习。之所以要从一道简单的数学题开始，和这本笔记的目的密切相关。我想在这本笔记里让大家同时掌握中级宏观经济学的思想和技术。这样，就不仅可以理解宏观经济学，知道理论是怎样推演和建立的，还可以应付考试。我们也发现，这里讲述的对经济学和数学的关系的理解有利于理解理论和训练思维。
一道初级数学题
看下面这道题：
例题：市场供给函数为
，市场需求函数为
。现在问：
（1）市场均衡时的商品数量和价格各是多少？
（2）假定对每单位产品征收0.9元的税收，新的市场均衡价格和产量又为多少？
（3）厂商和消费者各负担多少税收？
我们现在来解这道题，但是在解这道题之前，希望大家能够把这当作一道考试题来做，肯定会对学习和复习有所帮助。
解：当
时市场达到均衡。
此时，得到：
，
解得：
；Qs=QD=2000。
若对每单位产品征收0.9元的税，那么征税后
，
QD=4000-400P
联立，解得P=5.5；Q=1800。
可见征税后价格提高了5.5-5=0.5元
所以，相比原来的价格，消费者负担税收0.5元，剩下的0.4元由生产者承担。
这是一道十分简单的经济学习题，而且是通过数学形式给出的。我们随后将详细介绍，以这种方式——数字和符号以及方程式来描述经济问题是经济学家们最常用的方法，并将其称为“模型”。可以看到，经济模型也不是什么高深的概念。事实上，方程式、一组几何图形甚至我们建立一种解释性的理论都可以称为“模型”，经济学家常常用模型来解释世界。在解释不同的现象时，经济学家们需要不同的模型，这是因为，每个模型都有这不同的约束条件。比如这个简单模型的约束条件之一就是我们需要供给函数和需求函数是线性的，就象题目给出的那样。当然，这个世界上最复杂的模型是就是这个现实世界本身。
回到这道题上来。这道代数题在数学上到此应该算完成了——得到了具体而明确的数学。而这结果恰恰是数学所要求的。除了证明问题，几乎所有的数学问题都要求计算结果，计算出具体的数字。其原因大概在于具体的数字能表达出清晰感。这正是我们为什么计数的原因，比如“苹果”和“两个苹果”给人的清晰感是不同的。而数学这门学科正是起源于计数。
但是这道简单题在经济学上却远没有结束。一个经济学者总是试图发掘那些藏在数字和方程式背后的经济学道理，或说经济规律。那么这道题背后有哪些含义呢？
我们现在根据这道题提出一些问题，进而来看数学与经济学的关系。但是我承认，这里的解释都是简单版本的。如果大家对其中的解释感兴趣的话，可以再回头看看微观经济学的教材。这里是想提供一个利用数学框架来想问题的思路。
问题一：为什么
（代表需求）可以用来表示，而 
（代表供给）可以用来表示呢？
在几何上，是坐标系中一条向下倾斜的直线。如果纵坐标代表P，横坐标代表。那么这个式子的含义就是：需求曲线可以用一条向下倾斜的直（曲）线表示。而供给曲线可以用向上倾斜的直（曲）线表示。这是为什么？是否可以把两者换一下呢？学过微观经济学原理的人都知道，两者是不能互换的。需求曲线向右下倾斜和供给曲线向右上倾斜是基本的需求规律和供给规律，这是现代经济学的基石。但是问题是：为什么需求曲线要向右下倾斜（供给曲线也有同样的问题）？这也就是这一代数式蕴含的经济学道理。事实上，这样一个问题在经济学界引起不小的争论。在解释需求曲线向右下倾斜上，现代经济学几乎给出了很好的证明，包括从基数效用理论出发的解释和序数效用理论出发的解释。但是，需求曲线是不是在任何场全都必然地向右下倾斜？以弗里德曼、张五常等人为代表的芝加哥学派的一部分人笃信需求曲线在任何时候都是向右下倾斜的，而没有例外。张五常甚至说，其毕生所学的经济学只有两招：其中之一便是需求曲线必须向下倾斜。并断言，如果需求曲线不是向下倾斜的，那么经济学也就不存在了。但是，经济学界也有许多人对此却颇有微词。在哲学上我们倾向于相信“这个世界上没有什么是确定无疑的”这一信条。在此信条指导下有人指出了“吉芬物品”的需求曲线是向下倾斜的。但是争论很多。
问题二、意味着什么呢？
在数学上，我们可以容易地把二者联立为二元方程，并解出结果。但是我们要问：这等式背后的东西是什么？其相等的机制是什么？对此问题的回答与探索得出了经济学上最重要的理论。那便是可以追溯到1776年的一本杰出的书和一个杰出的人：《国富论》和亚当·斯密。在那本不朽的著作中，亚当·斯密提出了“看不见的手”的原理。他认为在市场中活动的人们像受着一只看不见的手的指引，在这种指引下而实现了。也可以说支持的机制是“看不见的手”理论。理论的发展远没有仅局限于此。随后的经济学天才们以各种复杂的手段来阐述和证明这个原理，这一智力活动所达到的程度和成果是迄今人类思想上最宝贵的财富之一。从理性人，到局部均衡又到一般均衡理论的发展至今仍是经济学的核心内容，有理由相信，对这个问题的求索，将继续吸引着一大批优秀的头脑。对此问题的不断追求和证明也让我们更加笃信：“市场通常是组织经济活动的一种好方法”这一经济学的基本原理。
问题三：为什么征收0.9元的税收后价格上升了？数量下降了？
在数学上我们轻易地接受了计算结果并相信不疑。但是我们仍要问，这结果背后的东西是什么？对此问题的问答也构成了经济学理论的重要内容，并促使我们接受另一个经济学的基本原理：“理性人会对激励做出反应”。面对来自政府的税收（激励），理性人无论是消费者还是生产者都会敏感地做出反应。如果对消费者征税，那么，她会以其它的物品来替代此种要纳税的物品。对生产者征税，因其利润缩减（或说产品成本增加）而生产动机不强，因此要减少产量。任何一种原因都会导致均衡数量的下降。学过微观经济学的读者会知道无论对谁征税，事实上差别不大。有一种机制会使这种“由谁来买单”并不重要，关键在于最后“谁来掏钱”。这是我们下面即将说及的。正是由于这种激励（税收）使得产品价格更高，数量更少了。
那么我们马上就会问到另一个问题：这样好不好啊？这也是一个重要的问题。并引出了公共政策中关于税收问题的争论。如果不征税，价格低，成交数量高，买卖双方都高兴，而且从某种角度上看还是最合意的结果。如果征税呢，价格高了，成交数量少了，更坏的是我们还损失了“消费者剩余”。但是如果不征税，政府便没有经济来源，便不能提供诸如教育、国防、公共卫生等一系列公共服务。而这些公共服务又恰恰是文明社会的标志。这就是一个两难的困境了。因此，如果把税收的损失看作是为文明社会而付出的代价的话，也许我们的痛苦感会少一些。美国的国父说：“这世界上除了死亡和纳税，没有什么是确定无疑的”。当然，我们还可以继续想问题，比如政府征什么税？征多少税？怎么征税？等等一系列问题。所以，这些数字背后的内容也着实丰富。
问题四：为什么征收了0.9元税收，价格没有上升0.9元，而只上升了0.5元？是什么决定了消费者和生产者各负担多少税收？
数学结果告诉我们，征收0.9元税收价格会上升0.5元，而且消费者负担0.5元，生产者负担0.4元。经济学会问：这是为什么？对此的回答构成市场机制的重要内容，并同时牵引起需求曲线和供给曲线，还引出了弹性的概念。这里我们简单来谈一下。
如果需求曲线很陡，我们认为是弹性很小。其意思也就是说，即使价格变化很多，也不会使需求量变化很多（请在头脑中想象一下在坐标系中的情形）。其极端情况是需求曲线非常陡，甚至垂直。这时弹性非常小，甚至为零。相反，若其平缓则弹性大。供给曲线也同理。那么弹性大小又有什么关系呢？弹性描述两个相关的变量中的一个量变动一定程度而导致另一个量变动的程度。弹性小说明两个量的关系不太紧密，一个量有很大变动另一个量只有很小变动。比如价格变化幅度很大，但需求量变化却不太大，也就是需求曲线陡峭，从而弹性很小的情况。这里我们总结一个关于弹性的“拇指规则”：弹性、弹性，字面意思是“伸缩的性质”。那么就从这个字面意思我们把弹性理解为 “逃离市场的能力”。弹性大，说明伸缩程度大，可以轻易地离开市场。而弹性小，则伸缩程度小，不能轻易逃离市场。由此拇指规则我们来解释上述问题：如果弹性为零，那么需求曲线垂直，说明消费者不能逃离市场。比如现实中对盐的需求，弹性几乎为零。消费者几乎不能离开盐市场。
因此，此时征收0.9元税，那么消费者只能来承担。这时可以肯定征税0.9元，价格会上涨0.9元。但是我们上面题目中的需求曲线不垂直，也就是弹性不是零。那么价格上涨，部分消费者使可以逃离市场，从而价格不能形成硬性约束，所以仅上升了0.5元。那么又怎么解释税收负担呢？如果消费者的弹性大，那么其逃离市场的能力大。当有税收加入市场时，她就很容易逃离市场。不买需要纳税的物品，自然轮不到她负担税收。所以此种情况下，消费者肯定要负担少量的税收，但是政府要征收的税收是一定的，消费者负担得少，生产者自然负担得要多。而如果生产者弹性大，逃离市场的能力强，那么其税收负担肯定要少。
我们重看题目的情况，生产者的供给曲线比消费者的需求曲线平缓，即生产者弹性大。其负担的税收肯定比消费者少。税负分担比例由供给曲线的斜率和需求曲线的斜率之比来决定。这便解决了上面的问题。由此“拇指规则”，可以解释更多的问题：我们可以很容易判断一些物品，如果对该物品征税，谁将负担更多的税负。比如奢侈品，对奢侈品征税，因为消费者容易逃离市场，故税负由生产者大量承担。再如土地，土地供给弹性为零，对土地征税，税收负担就全部落在土地所有者身上。这也是美国历史上著名的“乔治的土地税”问题。总之，由弹性的大小再通过拇指规则可以解释很多问题。
到此，我们不再继续讨论这道题目背后的东西了。但正如我们已经看到的那样，这个简单代数题背后有着极其丰富的经济学道理。而且肯定还可以发掘更多。这些经济学道理曾经都在我们的知识之外，但现在成了经济学智慧的一部分。因此，通过对数学式的思考，我们是有机会把它们发掘出来的。我们倾向于这样理解这个世界：与其说某种东西不存在，还不如说是由于我们认识能力的局限而没有发现其存在。我们的感官来感知世界有很大局限，在这种感官的局限下来认识世界，可能并不能让人满意。正如一位名人曾经说过那样，即使是一粒砂子也有未被看到的东西。
数学与经济学
下面我们转而论述经济学与数学的关系。这是一个十分热烈的问题。尤其是在中国的学界。支持者和反对者都能言善辩，妙语连珠。但是，事实似乎更支持经济学该应用数学的一方，尤其是国外的经济学界更是有力的佐证。但是反对在中国的经济学界滥用数学的忧虑也是值得尊重的。许多甚至著名学府的学生的学位论文里，必须要有一些他们称之为“耍把戏”的东西，也就是要用一些数学，而且越“高深”越好，以掩人耳目，为文增色。否则，论文是很难通过或受到重视的。甚至在经济学的一些杂志里，对于数学粗糙的滥用也相当广泛。这确实是一种学术上的重大混乱。我也深知，对经济学与数学的关系，我的认识也很局限，这里仅提出有利于我们表达和思考理论的想法。
数学是用来解释世界的，是一套解释世界的逻辑框架。也许这个观点很难得到某些专业数学家的同意。但是我们仍这样理解数学的理由如下：
数学是用来解释世界的。这和任何学科都一样，包括物理学和经济学等等学科。数学是如何解释这个世界的？数学有自己解释世界的逻辑，其通过数式背后的机制来解释世界。我们先回想一下，其实数学在表示数量关系时仅有两个符号，一个是等号，一个是不等号。相应的，所有的数学式子就可以分为等式和不等式。因为这里我们着重探讨道理，因此仅以等式为例。不等式的逻辑是一样的。数学要以等式（不等式）来解释世界。我们暂时忽略数学为解释世界而形成和发展的思路和工具，但是这些工具和思路是很重要的。如其独特的语言：集合、函数、微分、积分等等，和其本身思路：如把宇宙看作一个全集用U表示，进而再用集合论的思想把宇宙分进各个集合，再确立集合间的关系，函数关系或其他关系进而研究函数关系或其他关系——应用各种各样的工具来研究。我们先不探讨这些详细的东西。我们先问数学如何以等式解释世界？这是我们关注的问题。
回答是这样的：一个等式之所以成立，是因为有一种机制在支持这个等式成立，这种机制是重要的。数学因其自身的发展，有很多等量关系式。这些等式为什么相等？其机制是什么？便是摆在各个学科面前的任务。我们要从不同的学科角度来阐述为什么某个等式成立。对于物理学家，要用物理学上的理论来解释为什么相等。爱因斯坦的E=mc2不在于这个等式本身，而在于这个等式背后的东西——其成立的机制。而对这种机制的发现与阐述，便是爱因斯坦的杰出贡献。对于经济学家来说，其任务同样在于发现等式背后的机制。记得前面的题目：，其背后的机制是“看不见的手”的理论。我们要用经济学的理论来解释等式成立的机制。而经济活动是人的行为，所以使等式成立的机制便是人的行为。事实上人的行为也就是其行事的方式，正是经济学思想永不枯竭的源头活水。对于其他学科也是同样。因此我们把数学理解为解释世界的学科，是一种解释世界的框架。
这里我们重点从经济学角度来说数学的这种解释框架的作用，进而发掘经济学与数学的关系。
为什么选数学为框架从而来发展本学科的理论？我们要慢慢说起。在某种程度上，这是数学精神的体现。
数学最重要的问题便是建立函数关系，研究函数。在研究中，它有自己的内在研究逻辑。事实上，最难的也就是建立函数关系。每一个新的函数关系的建立，都在相应的领域造成地震似的轰动。函数关系的思想源于哲学。马克思一生发展了很多思想，而且在相应的领域指导了许多实践。但我们认为马克思认定“世界是普遍联系的”则说出了世界的根本真理。联系的思想其实便是函数的思想。人生活于社会中，同样是和周围的人和物联系的。这便决定了研究人的行为的科目是有可能用有关函数的学科来研究的。迄今为止，经济学界已经做出非常多的成就。比如一个简单的函数：生产函数Y=F（K，L）便是人与资本与技术的联系。而生产函数，大家知道是经济学的核心概念之一。
联系的方式，也便是函数的法则，则又是函数中最重要的。问题不在于可以把什么和什么联系在一起，而在于是如何联系在一起的，联系在一起的机制是什么。如果翻开经济思想史，甚至是科学史，我们几乎随处可见由于发现新的联系和联系的方式而成功地实现了对前人理论的突破与创新，这种突破和创新又成了后人再前进的基石的例子。同时也是对联系机制的阐述与说明，才是真正的科学思想。
经济学理论的突破同样离不开这样的方式。数学发展到今天已经成了一门比较完善的学科，其建立的函数关系（其中之一便是等式）也很多。而这每一个关系都可能成为一种新的解释人的行为的理论。关键在于我们要去发掘，去思考那些等式背后隐藏着何种有关人的行为的道理。
我们可以随便举出许多经济学上理论创新的例子，从而来说明其思想源于对数学里面等式机制的思考。比如我们即将在这本书里解释的货币数量论的货币数量方程：
，其中
为货币发行量，
是货币的流通速度，
是价格水平，
是国民产出。这个式子可以推演出很多机制。其中之一就是假如我们假设和是稳定的，那么货币发行量就和价格水平密切相关，这就是一种关于通货膨胀的理论。我们后面会详细说明。
再比如微观经济学中的理论，大部分都是对等式的机制思考的结果。还有鲍莫—托宾的货币交易模型不过是微积分中的简单一阶条件的问题，进而因为这个一阶条件而得出的等式就可以解释货币的需求由什么决定。我们在本书的进程中也会发现很多理论都是这种情况。而这些理论至今仍是经济学领域的重要内容。这些理论之所以能够历久而存，并且主导经济学，部分原因就在于其从经济学的角度阐释了数学式子背后的机制，而这种机制是一种前人未曾阐明的理论。
数学的解释力的伸张还在于其可以运算，并且有自己的运算逻辑。世界是无限复杂的，这与数学有限的等式（或说函数关系）并不矛盾（当然数学自身仍要谋求前进）。不矛盾在于，一个等式有自己成立的机制，当经过数学变换后，等式仍然相等，但是机制很可能已经变了。对于经济学家的任务是：要敏感于这种变化。这种轻微的改变从而导致理论上的改变可能不是轻微的。经济学中这类例子也不胜枚举。正是数学的这种运算逻辑，成了促进新的经济理论出现的十分便捷的工具。这也是为什么大多数经济学家提倡运用数学。可以说正是数学工具成就了他们的成功。然而科斯是个例外，但科斯只有一个。今天的中国经济学者们应对此有着清醒的认识。
这是我们对经济学与数学的思考。这给我们的启示又是什么呢？数学重要。尤其是对我们想要有理论创新的经济学者来说更是如此。当然今天仍然存在一种相当广泛的对于数学在经济学中的使用的怀疑，但在我看来，这些怀疑者尽管提出了一些看似比较正当的理由，并且表现出相当的敏捷和深沉的顾虑，他们还是缺乏一种恢弘的眼界。启示不仅仅是这些。无论是数学，还是经济学，最难的在于发现新的函数关系，而这不是一个简单的任务。必须要有着开放的思维和不拘泥已有结论的勇气。和数学家比起来，经济学家必须要走的更远。不仅要敏感地发现并理解这种关系，而且要能够以一种大家接受的规范方式表示出来。
然而对数学重要作用的理解并不是必然地鼓励数学的滥用，尤其是在中国。可是我们难过地发现，数学的滥用已经到了叫人痛心的地步了。现今的中国，数学的滥用绝不仅仅是学术上的混乱，而是反映了我们学界的思维。这种思维方式是极其重要的。不懂“为什么”要用数学，“怎么样”去用数学，而拘泥于“是什么”，无疑是中国经济学者们在经济学上前进的绊脚石。著名经济学家林毅夫曾经在谈到经济学方法时说，我们中国的学者很多不会用数学。
思维方式
我们一直认为在认识世界的过程中“是什么”的问题是最不重要的。每一次对“是什么”的更改，都是对人类已有思想的巨大突破与超越。重要的是问问“为什么”，“怎么样”。中国在前现代社会辉煌而在近代衰落了，我们认为是因为中国人的思维方式改变了。具体说来，在前现代社会，由于技术发明来源于工匠和天才人物在实践中的偶然发现，而中国在这方面又有绝对优势（人多）。其背后的意思是说，这一时期的人们因为实践需要，他们十分明了并自觉应用“为什么”，“怎么样”的思维方式，而“是什么”在这两个问题之后便顺理成章地解决了。而对“是什么”的更改又使中国科技发明向前移动。这里举一个简单的例子来说明：比如锯子的发明。传说锯子是鲁班发明的，鲁班是知道“为什么”要发明锯子的，而且其思考了“怎么样”来解决这问题。进而锯子（是什么）顺理成章的发明了。再以后，还是出于对前两个问题的思考，后人修改了“是什么”，于是有了电锯、钢锯等。
但是在大约14世纪的时候，中国的科学技术走了下坡路。我们认为是由于思维方式变了。思维方式变化的原因在于封建社会的一些制度设置，比如科举制度。这种制度使得社会上的精英们只须重“是什么”就可以了，比如背八股，从而使得再去走“为什么”，“怎么样”再“是什么”的思维路线变得成本很大（如不能考取功名）等，“楚王好细腰，宫中多饿死”，这直接导致国人创造力、创新能力的衰竭。当然，我这里并不是必然地要去抨击科举制，今年是废除科举制一百周年，大家对科举制度有很多谈论。事实上，这个制度并不一无是处。即使今天，我们很多选拔制度也是受到科举制度的启发。问题在于，考试内容的导向，很显然是一种激励机制，却容易让这个制度最终把这个社会引向歧途。
我这里描述的是对一个叫做“李约瑟之谜”问题的一种简单解释，但却是我们对这个问题思考的核心要点。
现在我们可以结束第一章了。之所以在这里要介绍一下经济学与数学，是因为在这本书中我将尽可能地使用代数式来描述理论。希望某些读者能消除对数学的恐惧感，学习经济学，数学并不必然是苦口良药。在中级水平的宏观经济学里，数学十分简单，但美丽绝伦。难在我们要理解这简单的数学背后的经济学思想。对好多学生来说，尤其要好好地学习那些经济学大师们的优雅创造。