在西方文明中,数学一直是一种主要的文化.
几乎每个人都知道,数学在工程设计中具有极其重要的实用价值.但是却很少有人懂得,数学在科学推理中的重要性,以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用.
至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法,摧毁和构建了诸多宗教教义,为政治学说和经济理论提供了依据,塑造了众多流派的绘画,音乐,建筑和文学风格,创立了逻辑学,而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案,这些就更加鲜为人知了.
作为理性精神的化身,数学已经渗透到以前由权威,习惯,风俗所统治的领域,而且取代它们成为思想和行动的指南.
最为重要的是,作为一种宝贵的,无可比拟的人类成就,数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面,至少可与其他任何一种文化门类媲美.
读到这里，阿毛说：“我以前还真不知道数学有这么大的作用.”
大老板微笑着,没有说话.
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在教科书和学校的课程中,都将"数学"看作是一系列毫无意义的,充满技巧性的程序.把这样的东西作为数学的特征,就如同把人体结构中每一块骨骼的名称,位置和功能当作活生生的,有思想的,富于激情的人一样.如同一个单词,如果脱离了上下文,不是失去了原来的意义,就是有了新的含义一样.
在人类文明中,数学如果脱离了其丰富的文化基础,就会被简化成一系列的技巧,他的形象也就被完全歪曲了.由于外行人很少使用数学技巧及其知识,因此他们对这些通常显得枯燥无味的东西很反感.
读到这里，阿毛说：“说得太对了.难怪我会觉得数学枯燥乏味.原来我看到的是一具面目可憎的骷髅.”
大老板微笑着,没有说话.
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下面从数学发展史的角度,简单介绍一下数学的各个分支.
一 古希腊数学
古希腊数学是指公元前600年到公元600年期间,希腊半岛、意大利半岛、埃及北部等地区的数学家们,创造的数学.主要成就有勾股定理与无理数,三大几何作图问题,欧几里得几何,和圆锥曲线的理论.代表人物有毕达哥拉斯,欧几里得,阿基米德,和阿波罗尼奥斯.
读到这里，阿毛说：“哦，又是古希腊人，他们真伟大！”
大老板说：“现代科学的框架，就是古希腊人开始建立的。古希腊人是一个善于思考的民族。他们的一些先贤，比如，泰勒斯,毕达哥拉斯，苏格拉底，柏拉图，亚里士多德，欧几里得,阿基米德等等，他们身上散发出的光辉，将永远照耀着人类科学文明,穿透重重迷雾和黑暗,不断进步。”
阿毛说：“向这些伟大的先贤们致敬！”
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毕达哥拉斯(约公元前580-公元前500年),成立了一个秘密组织,是一个集科学,宗教和哲学于一体的帮会性学术团体,后人称为毕达哥拉斯学派.
毕达哥拉斯学派在数学上的信条是"万物皆数".他们所说的数是指正整数和正分数.他们认为10最完美,1+2+3+4=10,他们称1,2,3,4为"四象".据传加入毕达哥拉斯学派的人的宣誓誓词为"谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓."
读到这里，阿毛说：“四象？是太极，两仪，四象，八卦里的四象吗？”
大老板说：“你可以自己去研究。”
阿毛说：“好的。”
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约公元前470年,毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯发现了无理数,揭穿了,毕达哥拉斯"万物皆数"的数只是整数与分数,是不成立的.毕达哥拉斯的绝对权威,受到了严重的挑战.结果,希帕苏斯被投入大海,葬身鱼腹.
读到这里，阿毛说：“又有一个英雄，为科学牺牲了。”
大老板说：“这样的人历史上有很多。”
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阿基米德(公元前287-公元前212),古希腊数学力学家,是人类历史上最伟大的科学家之一.美国科学史家贝尔说:"任何一张开列有史以来三位最伟大的数学家的名单上,必定写有阿基米德的名字,另两位通常是牛顿和高斯,不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较,或拿他们影响当代和后代的深邃和久远来比较,还应首推阿基米德."大作家伏尔泰说:"阿基米德头脑里的想象力比荷马头脑里的要多."阿基米德有一句名言"给我一个支点,我就可以移动地球."
二,<几何原本>和反欧几何
<几何原本>,是古希腊数学家欧几里得(公元前330年-公元前275年)的大作,是由公理方法建立的演绎数学体系的最早典籍,至今流传最为广泛,影响最为深远的一部世界级数学名著,是数学演绎证明的精彩画卷,全人类的教科书,数学家的启蒙课本.
波尔约(1802-1860),匈牙利数学家,创立了一种否定欧几里得几何第(5)公设的新几何,给出了一个非欧几里得的完整而无矛盾的新几何体系.这种几何叫反欧几何.
三,离散数学
1,集合论
集合是全部数学的最基本概念之一,是整个数学大厦的基础.数学的每个分支,都在使用集合论的语言进行表述和推理.
2,图论
图论是离散数学的重要分支,由欧拉创立于1736年.
图论中有一些很著名的问题,比如:七桥问题,中国邮路问题,五王子修路问题,四色定律.
欧洲的普瑞格尔河,流过古城哥尼斯堡市,河中有岛两座,筑7座桥,节日里市民们上岛游玩,有人提出如下问题:每桥恰过一次,再走回出发点,可能吗?这就是有名的"哥尼斯堡七桥问题".
希尔伯特(1862-1943),生于哥尼斯堡.他在代数不变量,代数数域,几何基础,变分法和积分方程,数学基础,广义相对论,与量子力学等方面,都有不平凡的贡献.
希尔伯特十分强调"问题"的重要性,他说:"只要一门科学分支能提出大量问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示这门学科的衰亡或中止."他还强调数学的统一性:"数学科学是一个不可分割的有机体,它的生命力正是在于各个部分之间的联系.数学理论越是向前发展,它的结构就会变得越加协调一致,并且这门科学一向相互隔绝的分支之间,也会显露出原先意想不到的关系."
读到这里，阿毛说：“希尔伯特的这些话,就象哲学家说的话,太有启发性了.我想,中国文化里的很多东西,比如中医,太极拳,既然让人感觉神秘,玄妙,难以理解,就正说明这里面存在大量问题,没有人能给出很合理,很有说服力的答案.说不定其中蕴藏着宇宙中某种重大的奥秘.”
大老板点头说:"没错,这些就是,科学家可以花大力气研究的领域."
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希尔伯特不仅是20世纪数学界的领袖人物,而且是一位优秀的数学教师.他并不特别看重学生的天赋,而是强调"天才就是勤奋".在学生的心目中,希尔伯特不是"远在云端的神",而是"一位穿杂色衣服的风笛手,用甜蜜的笛声,引诱一大群老鼠,跟着他走进数学的深河."
读到这里，阿毛说：“希尔伯特真是一个很棒的老师，如果听他讲课，也许我也会爱上数学.”
大老板说：“一个好的老师，他的最大职责，并不在于，学生从他教的这门学问，了解了多少知识，而在于，使学生爱上这门学问。古人说，学之者，不如好之者，好之者，不如乐之者。就是说,要让学生从学问中得到乐趣，从而爱上这门学问。爱这种东西，是很可怕的。比如，一个男孩爱上了一个女孩，为了这个女孩，他可能做出一些，平时难以想象的事情，他可以忍受劳累，忍受饥饿，忍受严寒，忍受烈日，甚至愿意付出生命。当你爱上了一门学问，也会是这样。有了这种爱，就象把一颗种子埋在了地里，当气候，土壤，水分等条件都合适的时候，这颗种子就会生根发芽，破土而出，逐渐长大，最后长成参天大树。如果学生厌恶了这门学问，就象火苗熄灭了，就很难再有,烈火燎原的盛大景象。一个好的老师，不但需要对他教的学问，有深刻的理解和把握，还需要有逻辑严密，层次清晰，深入浅出,生动形象的表达能力。这样，才能很好地引发学生的兴趣,启迪学生的智慧。”
阿毛说:"碰到一个好老师,真是一种幸福啊."
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3,数理逻辑
莱布尼兹(1646-1716),德国大数学家和哲学家.15岁上大学,20岁发表<论组合的艺术>的数学论文,首次提出数理逻辑的思想,把逻辑推理代数化,把用自然语言含糊表达的形式逻辑符号化,这种逻辑被称为数理逻辑.
莱布尼兹创办了柏林科学院,且致力于维也纳,圣彼得堡,德累斯顿科学院的创办,还曾设想建立"世界科学院".他曾写信给中国康熙皇帝,建议成立北京科学院.莱布尼兹主持出版了<中国近况>一书,亲自写了序言,该书指出欧洲要向中国传授科学,应该说,莱布尼兹是最早关心中国科学事业的西方朋友.
读到这里，阿毛说：“多好的莱布尼兹!中国耽误了多好的机会啊!”
大老板说:"过去的事情已经没有办法了,更重要的是不要再耽误现在."
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4,数论
数论是研究数的科学,含初等数论,代数数论和解析数论等分支.数论中的一个著名的问题是歌德巴赫猜想.
5,代数
公元前18世纪,巴比伦人就讨论过二次方程.
古希腊的阿基米德研究过一元三次方程的解法.
9世纪,阿拉伯数学家花拉子米建立了一元二次方程的求根公式.
花拉子米(783-850),有两部名著:<代数学>和<印度的计算术>.<代数学>在欧洲作为教科书使用了几个世纪,对欧洲的数学的发展起到了巨大的作用.在<印度的计算术>一书中,介绍了十进制记数法和四则运算技术,现在所称的阿拉伯数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,源于印度,经花拉子米等人介绍到欧洲,欧洲人误认为阿拉伯数字.
四,解析几何
笛卡儿(1596-1650),法国著名哲学家,数学家和自然科学家.
1637年,笛卡儿的名著<几何学>问世,宣布解析几何的诞生.解析几何的创立,标志着数学,从初等数学时期进入高等数学时期.
笛卡儿对数学的本质有独到的见解.他说:"所有那些,旨在研究顺序和度量的科学,都和数学有关.至于所求的度量是关于数的呢,形的呢,声的呢,还是其他东西的呢,都是无关紧要的.因此,应当有一门普遍的科学,去解析所有我们能够知道的顺序和度量,而不考虑它们在个别科学中的应用.事实上,通过长期的使用,这门科学已经有了自身的专名,它就是数学.它之所以在心灵活动和重要性上,远远超过那些依赖于它的科学,是因为它完全包括了这些科学的研究对象."
笛卡儿说:"上帝是按照数学规律建立自然界的."他强调理性,轻视经验.他的哲学格言是"我思,故我在."他的数学格言是:
"
一切问题可以化成数学问题,
一切数学问题可以化成代数问题,
一切代数问题可以化成方程求解的问题.
"
读到这里，阿毛说：“您觉得数学真有这么神奇吗?”
大老板说:"这个问题你可以好好去研究."
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五,微积分
15世纪,欧洲开始文艺复兴,难民们带着希腊文化,流入意大利.
在15世纪末,发现了新大陆(美洲),完成了环球航行.商业,航海,天文,和测量等活动日益繁荣,促进了流体力学,天体力学,几何光学,以及天文仪器和光学仪器的研究.
16世纪,欧洲出现了毛瑟枪,自动枪和火炮,枪炮的使用,激发了运动学(例如抛体运动规律)和动力学(例如力与速度,加速度)的研究.
黑暗的中世纪之后,在生产,殖民和技术的需求刺激之下,科学以意想不到的力量重新兴起,且以神奇的速度发展.事实上,社会一旦有技术上的需要,它比建立10所大学更能把科学推向进步,而科学技术的进步,又迫切地需要数学跟上来为之提供相应的新理论,新方法,来辅佐科学技术的更快更高地发展.
这一时期求面积,求体积,求速度,求加速度,求行程等,已经迫不及待地提到数学家的面前,强烈要求给出有理有据的成型的算法.
17世纪后半叶,在前人的大量工作的基础之上,由牛顿和莱布尼兹,分别独立地发明了高等数学意义上的微积分.
牛顿(1642-1727),英国大物理学家和数学家.1665年,23岁时,开始创建微积分.他的<自然哲学的数学原理>一书,从力学定律出发,用微积分为工具,严格地证明了行星三大运动定律,万有引力定律等极端重大的自然科学定律,且把微积分应用于流体力学,声学,光学,潮汐,乃至宇宙体系,显示出微积分这一新生数学学科的巨大威力.
六,微分方程
常微分方程,是17世纪和微积分同时诞生的,一门理论性极强,又有广泛应用的数学中心学科之一.微分方程是连接物质科学,乃至社会科学与数学科学的主要桥梁,它吸引数学各个分支的成果,又带动数学各分支的发展,是一门综合性颇强的数学分支.
七,函数论,变分法与泛函分析
1545年,卡尔丹成了敢于对负数开平方这种数进行运算的第一人,他"感到道德上的折磨".
1637年,笛卡儿在<几何学>中提出"虚数"这一名词,与实数相对.
虚数与复数的出现,犹如古希腊人引入无理数一样,激起了数学界的一场混乱与纷争.当时人们只觉得数,无非是实数.另外人们的思维定势(其实是一种"思维疾病")是"不可理解的东西就是不存在的事物,是假的."
黎曼(1826-1866),对多值函数进行了几何研究,给出黎曼曲面的概念.他把三维欧氏空间推广成N维空间,给出N维流形的概念,彻底革新了人们的空间概念,与几何概念.
读到这里，阿毛说：“N维空间？就是时空隧道那些吧？”
大老板说：“我们人类，认识周围的世界，是先通过我们的眼睛，耳朵，鼻子，手等器官，也就是通过视觉，听觉，嗅觉，触觉等，去感知世界。我们能感知的世界是立体的，也就是三维的，再加上时间是四维。超出四维空间以外，就很难通过视觉，听觉，嗅觉，触觉去感知，我们也很难把四维空间以外的东西，用我们习惯的三维立体空间的形式，建立一个形象的模型来描述。数学家的伟大，就在于，他们可以建立抽象的数学模型，去描述那些我们未知的世界。未知的世界并不等于不存在的世界。”
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八,概率论
意大利数学怪杰卡尔丹(1501-1576),写出概率论的萌芽之作<游戏机遇的学说>,讨论了两人赌博中断,如何分赌本的问题.
1812年,拉普拉斯的名著<概率的分析理论>出版.拉普拉斯对概率的定义,作了如下的阐述:
生活中发生的一切事件,甚至那些因无足轻重,而被认为不遵守神圣的自然法则的事件,都如同地球的公转一样,是自然法则的必然产物,因为没有明白,宇宙这个庞大体系中,连接这些事件的每个环节,它们的出现只好被视为是有"终极原因"的.主观臆断的所谓"终极原因"这种哲学本身只是表明对真理的无知.其实,单个空气或水蒸气分子的运动轨迹,和行星的轨道一样是有规可循的,只不过是人类缺乏对前者的足够认识.
九,数理统计
近代统计学的发展,起源于20世纪初,是在概率论的基础上发展起来的.但统计性质的工作可以追溯到远古的"结绳记事",和<二十四史>中大量的关于我国人口,钱粮,水文,天文,地震等资料的记录.
1662年,英国统计学家格兰特组织调查伦敦的人口死亡率,并发表专著<从自然和政治方面观察死亡统计表>,格兰特还对保险统计,经济统计进行了数学研究,称其学问为"政治算术".
19世纪中叶,比利时统计学家凯特勒把统计方法应用于天文,数学,气象,物理,生物,和社会学。
与现代数理统计,有密切关系的一门重要学科,是"博弈论",或称"对策论".
对策论,是研究由一些带有竞争性质的个体,构成的体系的理论,讨论在竞争中,是否存在制胜的策略,以及如何找到这种策略的理论.其萌芽可以追溯到中国的"田忌与齐王赛马",现代博弈论,则起源于下棋或赌博等游戏.
第二次世界大战期间,对策论广泛应用于军事问题,促进了这一学科的发展.战后,这一学科又广泛地用于经济学,心理学,政治学等领域,取得了重要成果.近年来,数理统计学中,关于竞争平衡的问题,经济增长与资本积累的问题,都因采用对策论的研究方法而受益颇丰.这方面的突出人物有Nash,Selton,Harsanyi,Mirrlees,Vickrey.
Nash,Selton,和Harsanyi,一起获得1994年的诺贝尔经济学奖,他们的工作形成了现代博弈论的骨干内容.
Nash于1959年患精神分裂症.美国大片<美丽心灵>就是以Nash的人生为题材拍成的,获2001年奥斯卡最佳影片奖.
Mirrlees,和Vickrey,是1996年的诺贝尔经济学奖得主.他们的成果也是与博弈论相关的所谓信息经济学.
十,混沌
洛伦兹发现了混沌.
1963年,美国气象学家洛伦兹研究大气对流,建立了大气运动的所谓洛伦兹方程组.通过计算机对方程组进行具体数值解计算,发现了一个奇怪吸引子,形状象一只蝴蝶,并发现了一种奇怪的蝴蝶效应,他形象地说:"巴西的一只蝴蝶扇动翅膀,可以引发得克萨斯州的一场龙卷风."
1998年,中国中央电视台,播出一位高级厨师的抻面表演,把一根面条拉伸折叠了50个回合,面条变得比头发丝还细,创立了一项吉尼斯世界记录.拉伸折叠这种简单而确定的运动,反复多次之后,产生了激烈的预想不到的变化,这就从数学上严格地揭示了,大量的非线性系统,如果存在混沌运动,则不可长期预报了.
1814年,拉普拉斯时代尚无混沌理论,他在<概率的哲学导轮>中说:"如果有一位智慧之神,在给定时刻能够识别出,赋予大自然以生机的全部的力量,和组成万物的个别位置,而且他有足够深邃的睿智,能够分析这些数据,那么他将把宇宙中,最微小的原子和庞大的天体运动,都包括在一个公式中,没有什么东西是不确定的,未来就如同过去那样,是完全确定无疑的."
洛伦兹发现混沌之后,美国科学家格莱克说:"混沌学排除了拉普拉斯决定论的可预测性的狂想."但爱因斯坦仍不太理解混沌的本质,他坚持说:"我无论如何深信上帝不是在掷骰子."
20世纪70年代以来,在生态,超导,催化反应,心血管疾病,非线性振动,三极管电路,大气运动,天体力学,和人类社会活动等领域,都发现了混沌现象.在确定的规律支配下,众多非线性系统中,发生不可预期的魔鬼般变化.
读到这里,阿毛说:"混沌真是个奇妙的东西.您觉得上帝会是在掷骰子吗?"
大老板哈哈一笑,说:"你可以去研究.如果把这个问题研究清楚了,也许你会和爱因斯坦一样伟大,或者更伟大."
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十一,分形
1967年,法国数学家蒙德尔布罗,发表<英国的海岸线有多长?>的论文.海岸线问题由来已久,早在19世纪,人们就发现西班牙,葡萄牙,比利时,荷兰等国的海岸线测量数据,与真实长度偏差甚大,超过了允许误差.在论文中,蒙德尔布罗提出了"分形"这个新名词,现在已发展成一门叫做"分形几何"的新的数学分支.他说:自然界的许多东西都是由简单步骤的重复,而产生出来的,使用分形,我们可以解释,为什么相对少量的遗传物质,可以发育成复杂的结构,如肺,大脑乃至整个躯体;也可以理解生物"魔术",是如何用只占人体体积5%的血管,布满人体的每一部分.
阿毛读完了，说：“我以前不知道数学里,还有这么多奇妙,有趣的事情.虽然我还是不觉得，数学就象一本精彩的小说那样，好读好懂，但比起以前，感觉亲切多了。我已经能感受到数学的某种魅力了。”
大老板说：“毕竟，数学并不是葡萄架上垂着的，熟透了的紫葡萄，晶莹剔透，好看好吃又好摘。数学里蕴藏着宇宙的奥妙。对于数学家来说，数学中的难题,就象蒙娜丽莎的微笑。蒙娜丽莎的微笑的最大魅力,就在于，大家都不知道,她为什么而笑.无数的男人,在研究这个问题,他们中的一些人愿意,或者趴在地上,或者爬到楼梯上,或者把自己倒吊在天花板上,从各个角度研究分析蒙娜丽莎的微笑,就是想搞清楚:蒙娜丽莎,你到底为什么笑?”