英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾经发现过一种有趣的现象:

　　 ； ； ； 153=1的3次方+5的3次方+3的3次方

　　 ； ； ； 371=3的3次方+7的3次方+1的3次方

　　 ； ； ； 370=3的3次方+7的3次方+0的3次方

　　 ； ； ； 407=4的3次方+0的3次方+7的3次方

　　 ； ； ； 他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶。更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四(五,六)次幂之和的四(五,六)位数:

　　 ； ； 1634=14+64+34+44（等号于右侧第2位数为幂数）

　　 ； ； 54748=55+45+75+45+85（等号于右侧第2位数为幂数） ；

　　 ； ； 548834=56+46+86+86+36+46（等号于右侧第2位数为幂数）

　　 ； ； 像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂回归数。本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数 n 有回归数?这样的 n 是有限个还是无穷多个。对于已经给定的 n ,如果有回归数,那么有多少个回归数。

　　1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使 n 位数成为回归数的 n 只有有限个。

　　 ； ； ； 设 An 是这样的回归数,即: An=a1a2a3...an=a1n+a2n+...+ann (其中 0<；=a1,a2,...an<；=9) 从而 10n-1<；=An<；=n9n 即 n 必须满足 n9n>；10n-1 也就是 (10/9)n<；10n ⑴ 随着自然数 n 的不断增大,(10/9)n 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明: (10/9)60=556.4798...<；10*60=600

　　(10/9)61=618.3109...>；10*61=610

　　 ； 对于 n>；=61,便有(10/9)n>；10n 由此可知,使⑴式成立的自然数 n<；=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:

　　一位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9

　　二位回归数:不存在

　　三位回归数:153,370,371,407

　　四位回归数:1634,8208,9474

　　五位回归数:54748,92727,93084

　　六位回归数:548834

　　七位回归数:1741725,4210818,9800817

　　八位回归数:24678050,24678051

　　 ；

　　 ； ； ； 但是此后对于哪一个自然数 n (<；=60)还有回归数?对于已经给定的 n ,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?