概率问题可大致分为两类：

　　① 基本事件发生的概率未知，但基本事件发生的可能性相等（否则问题不可解），则需要通过计（个）数或算测度来求相关的概率；

　　② 基本事件发生的概率已知，则需要通过互斥事件的概率公式来求相关的概率.

　　解概率题时要抓住以下概念与公式：

　　① 通过计数求概率：如果一次试验中，可能出现的结果有n个，而所有结果的出现都是等可能的，又事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)=mn.

　　② 互斥事件有一个发生的概率：事件A，B不可能同时发生，这样的两个事件叫做互斥事件.显然，互斥事件是同一次试验的结果.若事件A,B互斥,把A,B中有一个发生记为A+B,则有P(A+B)=P（A）+ P(B).

　　对立事件与互斥事件的关系是：对立必互斥，互斥未必对立；一个事件的概率与它的对立事件的概率的和是1.

　　一般地，如果事件A1,A2,…,An中的任何两个都是互斥的，那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P（An）.

　　③ 相互独立事件同时发生的概率：

　　事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.显然，相互独立事件是不同次试验的结果.若事件A，B相互独立，把A，B同时发生记为A•B，则有P(A•B)=P（A）•P（B）.

　　若A与B是相互独立事件，则事件A与B，A与B，A与B也相互独立.

　　一般地，如果事件A1,A2,…,An中的任何两个都是相互独立的，那么P（A1A2…An）=P（A1）

　　P（A2）…P（An）.

　　④ 如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次（相互）独立（而）重复（的该）试验中此事件恰好发生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.

　　一、 分类例析概率题的解法

　　1. 基本事件的概率未知

　　例1 有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字1，三张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中四张标有数字0，一张标有数字1，两张标有数字2.现从红色盒中任意取出1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取出2张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），即共取出3张卡片.

　　 （1） 求取出的3张卡片都标有数字0的概率；

　　 （2） 求取出的3张卡片数字之积是4的概率；

　　 （3） 求取出的3张卡片数字之积是0的概率.

　　解 （1） 记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A，则P（A）=C11C24C16C27=121.

　　（2） 记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B，则P(B)=C12C22+C13C11C12C16C27=463.

　　（3） 记“取出的3张卡片数字之积是0”为事件C,则P(C)=1-P(C)=1-C15C23C16C27=3742.

　　例2 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分配到A,B,C,D四个岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

　　（1） 求甲、乙两人同在岗位A服务的概率；

　　（2） 求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率.

　　解 （1） 记“甲、乙两人同在岗位A服务”为事件EA，那么P(EA)=A33C25A44=140.

　　（2） 记“甲、乙两人在同一岗位服务”为事件E，那么P(E)=A44C25A44=110，

　　所以“甲、乙两人不在同一岗位服务”的概率是P(E)=1-P(E)=910.

　　点评 注意计数原理及对立事件之间的概率关系的应用.

　　例3 某箱内有大小相同的4个红球和3个黑球.

　　（1） 若无放回地摸取3个球，求所摸出的红球个数比黑球个数少的概率；

　　（2） 若有放回地摸取3个球，求所摸出的红球个数比黑球个数少的概率.

　　解 （1） 该事件由“取出3个黑球”和“取出2个黑球1个红球”这两个互斥事件组成，记其为事件A，则P（A）=C33C37+C23C14C37=1335.

　　（2） 有“放回地摸取”实际上就是独立重复试验.记“所摸出的红球个数比黑球个数少”为事件B，则P(B)=373+C23372×47=135243.

　　点评 注意“有放回”与“无放回”的区别.

　　2. 基本事件的概率已知

　　例4 某课程考核分为理论与实验两部分，每部分考核的成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”即为该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响.

　　（1） 求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

　　（2） 求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）

　　解 记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3；记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.

　　（1） 记“这三人在理论考核中至少有两人合格”为事件C.

　　解法1 P(C)=P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3

　　+A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)

　　+P(A1A2A3)=P（A1）P（A2）P（A3）+

　　P（A1）P（A2）

　　P（A3）+P（A1）P（A2）P（A3）

　　+P（A1）P（A2）P（A3）=0.9×0.8×0.3+0.9×02×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=0902.

　　解法2 P(C)=1-P(C)=1-P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)=1-(0.1×0.2×0.3+0.9×0.2×0.3+0.1×0.8×03+01×02×07)=1-0098=0.902.

　　（2） 记“这三人该课程考核都合格” 为事件D.

　　P(D)=P[(A1B1)（A2B2）（A3B3）]

　　=P（A1）

　　P（B1）P（A2）P（B2）P（A3）P（B3）=0.9×08×0.8×0.7×0.7×0.9=0.254 016≈0.254.

　　例5 甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的人获胜（一旦决出胜负，比赛便结束）.根据以往的经验，单局比赛甲胜乙的概率为0.4，各局比赛相互之间没有影响，求：

　　(1) 前三局比赛乙领先的概率；

　　(2) 本场比赛甲以3∶2取胜的概率.

　　解 （1） 单局比赛甲胜乙的概率为0.4，乙胜甲的概率为1-0.4=0.6.

　　记前三局比赛“乙胜三局”为事件A，“乙胜两局”为事件B，则P（A）=0.63=0.216,P（B）=C23×0.62×0.4=0.432，所以前三局比赛乙领先的概率为P（A）+P（B）=0.648.

 

（2） 若本场比赛甲以3∶2取胜，则前四局双方以2∶2战平且第五局甲胜，所以该事件的概率为C24×0.42×0.62×0.4=0.138 24.

　　例6 栽培甲、乙两种果树，都要先进行培育，然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树培育成苗的概率分别为0.6，0.5，移栽成活的概率分别为0.7，0.9.

　　(1) 求甲、乙两种果树至少有一种果树能培育成苗的概率；

　　(2) 求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率.

　　解 分别记甲、乙两种果树培育成苗为事件A1，A2，分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件B1，B2，则P(A1)=0.6，P(A2)=0.5，P(B1)=0.7，P(B2)=0.9.

　　(1) 甲、乙两种果树至少有一种能培育成苗的概率为P(A1+A2)=P（A1A2）+P（A1A1）+P（A1A2）=1-P(A1A2)=1-0.4×0.5=08.

　　（2） 解法1 分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A，B,则P(A)=P(A1B1)=P（A1）P（B1）=0.42，P(B)=P(A2B2)=P（A2）P（B2）=0.45.

　　故恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率为P(AB+AB)=0.42×0.55+0.58×0.45=0492.

　　解法2 恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率为P(A1B1A2+A1B1A2B2+A1A2B2+A1B1A2B2)=0.6×0.7×0.5+0.6×0.7×0.5×01+0.4×0.5×0.9+0.6×0.3×0.5×0.9=0492.

　　点评 注意其中事件之间的相互独立关系与互斥关系，不要混淆.

　　总之，解概率题的关键是确定要使用的概率公式.

　　二、 分类例探解概率题时的易错点

　　首先，要分清基本事件的发生是否等可能，事件之间是否相互独立，是否互斥；其次，要注意以下两个易错点.

　　1. “（相）互（排）斥”与“相互独立”混淆

　　互斥事件与相互独立事件的区别：

　　两个事件互斥是指同一次试验中两个事件不能同时发生，两个事件相互独立是指不同次试验下两个事件的发生互不影响；相互独立事件一定不互斥，互斥事件也一定不相互独立.

　　例7 某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军联赛，已知甲、乙两队夺取冠军的概率分别是37，14，求该市夺得全省足球冠军的概率.

　　错解 记“甲、乙两队夺取冠军”分别为事件A，B，则P(A)=37，P(B)=14，且A，B相互独立.

　　由于“该市夺得全省足球冠军”的可能情况有：①甲队夺得而乙队没有夺得；②乙队夺得而甲队没有夺得.故该市夺得全省足球冠军的概率是P(AB+AB)=P（A）P（B）+P（A）P（B）=37×34+47×14=1328.

　　分析 这里错误地认为事件A，B相互独立.生活经验告诉我们：甲夺取冠军与否对乙夺冠军与否是有影响的.实际上，A，B是互斥事件而不是相互独立事件.

　　正解 记“甲、乙两队夺取冠军”分别为事件A，B，则P（A）=37，P（B）=14，且A，B为互斥事件.

　　由于“该市夺得全省足球冠军” 就是事件A，B中有一个发生，故该事件的概率是P（A+B）=P（A）+P（B）=37+14=1928.

　　例8 甲的投篮命中率为0.8，乙的投篮命中率为0.7，每人投篮3次，两人都恰好命中2次的概率是多少？

　　错解 记“甲、乙两人投篮3次恰好命中2次”分别为事件A，B，则A，B为互斥事件，且“两人都恰好命中2次”为事件A+B，于是P(A+B)=P(A)+P(B)=C23×0.82×0.2+C23×0.72×0.3=0.825.

　　分析 这里先是错误地认为事件A，B互斥，然后又错误地将事件“两人都恰好命中2次”理解为事件“甲恰好命中2次”与“乙恰好命中2次”的和（至少有一个发生）.

　　正解 记“甲、乙两人投篮3次恰好命中2次”分别为事件A，B，则A，B为相互独立事件，且“两人都恰好命中2次”为事件AB，于是P(AB)=P（A）P（B）

　　=C23×0.82×0.2×C23×0.72×0.3≈0.169.

　　2. “有序”与“无序”混淆

　　例9 一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率.

　　错解 记“两球恰好颜色不同”为事件A，由于该试验共有的摸法数是C15C15=25，而两球恰好颜色不同包含的摸法数是C12C13=6，故P（A）=625.

　　分析 由题意，知摸球的过程是有序的，故“两球恰好颜色不同”包含“先白球后黑球”与“先黑球后白球”两种情况.

　　正解 记“两球恰好颜色不同”为事件A，于是P(A)=C12C13+C13C12C15C15=6+625=1225.

　　巩 固 练 习

　　1. 从1，2，3，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是()

　　A. 59 B. 49 C. 1121 D. 1021

　　2. 某箱子中有10张卡片，分别写有1~10这十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x并放回箱子中，再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x+y是10的倍数的概率是（）

　　A. 15 B. 110 C. 9100 D. 225

　　3. 质点A位于数轴x=0处，质点B位于x=2处.这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设它们向左移动的概率均为13，向右移动的概率均为23.

　　（1） 求3秒后，质点A在x=1处的概率；

　　（2） 求2秒后，质点A,B同时在x=2处的概率.

　　4. 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款的方式购买.根据以往的资料统计，顾客一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客一次性付款，则商场获得利润200元；若顾客分期付款，则商场获得利润250元.

　　（1） 3位顾客每人购买1件该商品，求至少有1位采用一次性付款的概率；

　　（2） 3位顾客每人购买1件该商品，求商场获得的利润不超过650元的概率.

　　5. 从某批产品中有放回地抽取两次，每次随机抽取1件产品，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.

　　（1） 求从该批产品中任意抽取1件是二等品的概率p；

　　（2） 若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有1件是二等品”的概率P(B).