自从教材中出现了“推理与证明”的内容后，“数列中的推理问题”已成为考试命题的“宠儿”，这类问题既考查了数列知识本身，又考查了用“推理与证明”中的思想方法灵活处理数列问题的能力.让我们一起来看几个例子.

　　一、 数列中的归纳推理问题

　　 例1 如下图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来的（n=1，2，3，…），则第n-2个图形中共有____个顶点（n=3，4，5，…）.

　　 解析 设第n个图中有an个顶点，则a1=3+3×3，a2=4+4×4，…，an=n+n•n，于是可归纳推理出an-2=（n-2）2

　　+n-2=n2-3n+2.

　　评注 本题是个填空题，只要答案，不需要解答过程，故归纳推理是最优的求解方法.

　　 例2 在数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*），试猜想这个数列的通项公式，并证明你的猜想是否正确.

　　分析 先依据递推关系求出该数列的前几项，根据前几项的“特征”，归纳猜想该数列的通项公式，并用“演绎推理”的方法加以严格证明.

　　 解 在数列{an}中，由a1=1，an+1=（n∈N*），求得a1=1=，a2==，a3==，a4==，a5==，…，

　　所以由归纳可猜想：这个数列的通项公式是an=.

　　证明：由an+1=，得==+，即-=，所以数列成等差数列，且公差为，首项为=1，故=1+（n-1）×，即an=.

　　评注 先猜想结论，再严格证明该结论，是解数列问题时经常用到的一类方法.

　　二、 数列中的类比推理问题

　　 例3 在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N*）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式_________成立.

　　 解析 等差数列→用减法定义→性质用加法表述（若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq）；

　　等比数列→用除法定义→性质用乘法表述（若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am•an=ap•aq）.

　　由此，猜测本题的答案为b1b2•••bn=b1b2•••b17-n（n＜17，n∈N*）.

　　事实上，对等差数列{an}，如果ak=0，则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0，所以有a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+（an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n）（n＜2k-1，n∈N*）.

　　从而对等比数列{bn}，如果bk=1，则有b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n（n＜2k-1，n∈N*）.

　　评注 运用类比的思想方法可以由等差数列的一般性结论，而得到等比数列的新的一般性结论.

　　 例4 （1） 已知等差数列{an}，若bn=（n∈N*），求证：{bn}仍为等差数列；

　　（2） 已知等比数列{cn}，cn＞0（n∈N*），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明.

　　 解析 （1） bn==，bn+1-bn=.

　　因为{an}为等差数列，可设公差为d（常数），所以bn+1-bn==为常数，所以{bn}仍为等差数列.

　　（2） 类比命题：已知等比数列{cn}，cn＞0（n∈N*），若dn=，则{dn}仍为等比数列.

　　证明：因为{cn}为等比数列，且cn＞0（n∈N*），可设公比为q（正常数），所以dn==，则==为常数，即{dn}为等比数列.

　　1. 根据下面一组等式：

　　s1=1，

　　s2=2+3=5，

　　s3=4+5+6=15，

　　s4=7+8+9+10=34，

　　s5=11+12+13+14+15=65，

　　s6=16+17+18+19+20+21=111，

　　…

　　可得s1+s3+s3+…+s2n-1=____________.

　　2. 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列（d≠0）.

　　（1） 若a20=40，求d；

　　（2） 试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；

　　（3） 续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

　　1. n4.

　　2. （1） d=3；（2） a30=10d+2+（d≠0），a30∈，+∞.

　　（3） 所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10 n，a10 n+1，…，a10（n+1）是公差为dn的等差数列.

　　研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围.

　　且研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3）依次类推，可得a10（n+1）=10（1+d+d2+…+dn）=10×，d≠1，10（n+1），d=1.当d＞0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）.