同学们在高考这样十分紧张的考试中,怎样才能保证充分发挥自己应有的水平呢？审题是关键.怎样审题呢？下面就结合一些典型试题，谈谈数学审题的策略，归纳起来有六招.

　　一、仔细读题

　　反复把题目默读几遍，必须认真、仔细、全面、逐字逐句、逐符号地读题，边读边思考，通过读题，弄清题意，明确问题的条件和结论，多角度无遗漏地收集题目信息.为进一步的思考作好充分准备.

　　例1 （2011届南通市第一次调研考试第13题）

　　已知f(x)=x2,g(x)=(12)x－m，若对x1∈，x2∈，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________ ．

　　解析：这是一道双变量的任意、存在性问题，对于这种题型，必须弄清全称性量词符号“”与存在性量词符号“”的含义.对所有的f(x1)（x1∈），都存在g(x2)（x2∈）使f(x1)≥g(x2)，所以x1∈，x2∈，f(x1)≥g(x2)min≥min 

　　∴0≥(12)2－m 求得m≥14

　　点评：（1）单参数的任意性与存在性的一些等价形式：设m为实数

　　x∈,f(x)>mf(x)min>m；

　　x∈,f(x)>mf(x)max>m；

　　x∈,f(x)

　　x∈,f(x)

　　x∈,f(x)=mf(x)=m有解.

　　（2）双参数的任意性与存在性的一些等价形式：x1∈,x2∈,f(x1)>g(x2)f(x1)min>g(x2)max；

　　x1∈,x2∈,f(x1)>g(x2)f(x1)max>g(x2)min；

　　x1∈,x2∈,f(x1)>g(x2)f(x1)min>g(x2)min；

　　x1∈,x2∈,f(x1)>g(x2)f(x1)max>g(x2)max；

　　x1∈,x2∈,f(x1)=g(x2)f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空；

　　x1∈,x2∈,f(x1)=g(x2)f(x1)的值域g(x2)的值域；

　　x2∈,x1∈,f(x1)=g(x2)f(x1)的值域g(x2)的值域.

　　二、紧抓关键

　　经过仔细读题得到题目的各种信息后，要坚决排除那些分散注意力，干扰思路的多余的条件，并对解题有用的，关键的信息用简单语言形式（包括符号语言、图形语言）规范有序地落实下来，使题目信息变得一目了然.

　　例2 （2011年南京市第一次调研考试第20题）

　　已知函数f(x)=x－1－alnx(a∈R).

　　（1）若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x－y－3=0，求实数a的值；

　　（2）求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1；

　　（3）若a<0，且对任意x1,x2∈(0,1〗，都有|f(x1)－f(x2)|≤4|1x1－1x2|，求实数a 的取值范围.

　　解析：本题的（1）、（2）两问比较常规，难度不大，来看看第（3）问.对条件中的数学式|f(x1)－f(x2)|≤4|1x1－1x2|如何进行转化是本问的的关键.难点是式子中含有绝对值符号，联想我们已经很熟悉的变形|f(x1)－f(x2)|≤max－min，但已知的不等式右边是含变量x1,x2的式子，至此思路受阻.如何调节呢？尽可能地将不等式的一边化归为常数不就行了嘛，很自然地就要去掉绝对值符号，需要讨论吗？根据题目的条件与不等式的结构可以避免分类讨论.由x1,x2的对称性，不妨设00恒成立，所以函数f(x)在(0,1〗上是增函数. 又函数y=1x在(0,1〗上是减函数，

　　则|f(x1)－f(x2)|=f(x2)－f(x1),|1x1－1x2|=1x1－1x2，

　　所以|f(x1)－f(x2)|≤4|1x1－1x2| f(x2)－f(x1)≤4x1－4x2.

　　将含相同元素的数学式进行集中，f(x2)+4x2≤f(x1)+4x1，利用函数思想，构造函数

　　h(x)=f(x)+4x=x－1－alnx+4x.

　　则|f(x1)－f(x2)|≤4|1x1－1x2|等价于函数h(x)在区间(0,1〗上是减函数.

　　因为h′(x)=1－ax－4x2=x2－ax－4x2，所以x2－ax－4≤0在x∈(0,1〗时恒成立，

　　即a≥x－4x在x∈(0,1〗上恒成立，即a不小于y=x－4x在区间(0,1〗内的最大值.

　　而函数y=x－4x在区间(0,1〗上是增函数，所以y=x－4x的最大值为－3.

　　所以a≥－3，又a<0，所以a∈点评：依据题设与结论中数与式的结构，构造辅助函数，利用导数得出函数的单调性是解决导数与不等式的综合题的常见方法之一.

　　三、图形引路

　　在解决代数问题时，要注意其几何意义，通过几何图形直观反映题设条件与结论之间的联系，从而叩开正确解题之门.

　　例3 （2011年泰州市第一学期期末联考第14题）

　　已知O是锐角ΔABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO,则m=__________ .（用θ表示）

　　解析：已知∠A=θ，且条件cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO中的向量均是以点A为起点的向量，又O是锐角ΔABC的外接圆的圆心，这样就以点A为坐标原点，其中一条边不妨落在x轴上，建立如图所示的平面直角坐标系.将向量语言、符号语言转化为图形语言，另一方面，如何研究这个图形呢？又可转化为向量的坐标运算.A(0,0),B(c,0),C(bcosθ,bsinθ)，易得O(c2,b－ccosθ2sinθ)

　　∴cosBsinCAB+cosCsinBAC=cosBsinC(c,0)+cosCsinB(bcosθ,bsinθ)=(c•cosBsinC+cosC•bcosθsinB,cosC•bsinθsinB)

　　=2mAO=(mc,(b－ccosθ)•2m2sinθ),

　　即c•cosBsinC+cosC•bcosθsinB=mc （1）cosC•bsinθsinB=(b－ccosθ)•2m2sinθ （2） 

　　由（1）式得m=cosBsinC+cosC•bcosθc•sinB=cosBsinC+cosC•sinB•cosθsinC•sinB

　　=cosB+cosCcosθsinC=－cos(A+C)+cosCcosAsinC =－cosCcosA+sinCsinA+cosCcosAsinC=sinA=sinθ

　　同理由（2）式也得出m=sinθ

　　综上可知m=sinθ

　　点评：本题给出的是一些向量式，但若直接进行向量的数量积运算则比较繁琐，运算量较大且容易出错.根据题意，挖掘出题目的几何背景，这样就能使问题简单化，直观化.

　　四、挖掘隐含

　　题目中有些条件给出的并不明显,需要对这些条件进行再加工,也有些条件虽然题目已经给出了,而同学们却没有把它作为条件来使用,从而使解题遇阻, 需要对这些条件进行再认识.

　　例4 （2008年江苏省数学高考第14题）

　　f(x)=ax3-3x+1对于x∈总有f(x)≥0 成立，则a=__________ ．

　　解析：本题有多种办法，而最为基本的方法就是先落实条件f(x)≥0恒成立min≥0转化为求函数f(x)在x∈的最小值min，令f′(x)=3ax2－3=0，即ax2=1，解这个含参数的方程，当然需要分类讨论，分两大类情况：①a≤0；②a>0.而在第二种情况下又要分两种情况讨论： ①01.分类情况较多，容易出现解题失误.如果分析一下条件与结论，就能发现一个隐含条件，由于结论要求是定值，可以取特殊值缩小范围：f(0)=1≥0，f(1)=a－2≥0，f(－1)=－a+4≥0，所以2≤a≤4，这样讨论的情况大大减少，甚至就避免了讨论.如此题只需要说明a>1的情况即可.当然，如果你再注意使用二分法的思路，可取f(12)=18a－12≥0a≥4直接得出结果. 

　　点评：数学题目中有的条件或寓于概念，或存于性质，或含于图中，审题时，若注意深入挖掘这些隐含条件，定能起到事半功倍的效果.

　　五、寻求转换

　　数学语言是数学知识与思维的载体，熟练掌握数学语言相互对应的词汇，会准确地进行“翻译、转化”是同学们学好数学、学活数学的必要条件.

　　例5 （2011年泰州市第一学期期末联考第19题）

　　已知在直角坐标系中，An(an,0),Bn(0,bn)(n∈N)，其中数列{an},{bn}都是递增数列.

　　（1）若an=2n+1,bn=3n+1，判断直线A1B1与A2B2是否平行；

　　（2）若数列{an},{bn}都是正项等差数列，设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn(n∈N).

　　求证：{Sn}也是等差数列；

　　（3）若an=2n,bn=an+b,(a,b∈Z),b1≥－12，记直线AnBn的斜率为kn，数列{kn}前8项依次递减，求满足条件的数列{bn}的个数.

　　解析：(1)（2）两问直接求解与证明即可，分析第（3）问

　　易得直线AnBn的斜率为kn=bn－00－an=－bnan=－an+b2n.怎样落实条件“数列{kn}前8项依次递减”呢？一种策略是具体化，转化为“a1

　　“前8项依次递减”即为kn+1－kn<0对1≤n≤7(n∈Z)成立，

　　进一步转化为“an－a+b<0对1≤n≤7(n∈Z)成立”，这是一个关于整数n恒成立的问题，令ln=an－a+b（a>0），数列{ln}是递增数列，只要转化为l7<0，即7a－a+b=6a+b<0，又b1=a+b≥－12，盯住解题目标是求数列{bn}的个数，即求出参数a,b的值，而我们目前得出的是不等关系，如何达到目的呢？结合条件a,b∈Z，也就是说只要分别求出参数a和b的取值范围就可以了.一种方法是直接由已知的两个不等式6a+b<0,a+b≥－12得－12－a≤b<－6a，所以－12－a<－6a，即0

　　另一种方法是将关于两个变元a,b的不等式直观转化为平面区域问题

　　联立得6a+b<0a+b≥－12a>0a,b∈Z，作出可行域（如图所示），易得a=1或2

　　有了其中一个参数a的取值，另一参数b的取值就容易得到了

　　当a=1时，－13≤b<－6，即b=－13,－12,－11,－10,－9,－8,－7，有7解；

　　当a=2时，－14≤b<－12，即b=－14,－13，有2解.

　　∴数列{bn}共有9个. 

　　点评：试图将问题换个说法，说给你自己听，做到：隐晦的语言说得明确些；复杂的问题说得简要些；抽象的问题说得具体些；表象的问题说得深刻些；难于正面说的问题从反面去说.解题其实就是一个转化转化再转化的过程.

　　六、善于联想

　　联想是问题转化的桥梁，稍具难度的问题与基本知识的联系是不明显的，间接的，复杂的.因此，解题的方法怎样，速度如何取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，作出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入.

　　例6 （2011年盐城市第一次调研考试第14题）

　　已知函数f(x)=1+x－x22+x33－x44+…+x20112011,g(x)=1－x+x22－x33+x44－…－x20112011,

　　设F(x)=f(x+3)•g(x－3),且函数F(x)的零点均在区间(a

　　解析：由F(x)=f(x+3)•g(x－3)可知，函数F(x)的零点即为f(x+3)的零点或g(x－3)的零点，就是要研究方程f(x)=0,g(x)=0的根的分布，联想以前在解决有关方程根的分布问题时，本质上都是应用函数的单调性.又函数f(x),g(x)都是高次多项式函数，要利用导数工具，求导得导函数f′(x)=1－x+x2－x3+…+x2010，然后研究导函数的单调性，

　　当x>－1时，f′(x)=1－x+x2－x3+…+x2010=1+x20111+x>0成立，

　　f′(－1)=1－x+x2－x3+…+x2010=1>0，

　　当x<－1时，f′(x)=1－x+x2－x3+…+x2010=1+x20111+x>0也成立，

　　即f′(－1)=1－x+x2－x3+…+x2010>0恒成立，

　　所以f(x)=1+x－x22+x33－x44+…+x20112011在R上单调递增.

　　f(0)=1,f(－1)=(1－1)+(－12－13)+…+(－12010－12011)<0，

　　f(x)的惟一零点在内，f(x+3)的惟一零点在内.

　　同理g(x－3)的惟一零点在内，因此b=5,a=－4,b－a=9.

　　点评：联想大家熟悉的利用单调性解决根的分布问题，就能借助导数工具，研究高次函数的单调性，顺利解决零点的分布问题.

　　总之，审题是解题的一个重要步骤，通过审题，收集信息，加工信息，熟悉题目并深入到题目内部去思考，就会找到解题的入口，也会在解题的全部过程中，不忽视任何一个细节. 审题决定成败.审题是通向成功的起点，也是成功的归宿.

　　（作者:吴卫东,江苏省泰兴中学）