浅谈抛物线对称轴上的五个点及相关结论
在抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上有五个重要的点,即O(0,0),K-,0,F ,0,M (p,0),N(2p,0),与这五点相关的高考试题非常多.本文对这五个点做一个简单的总结,其中前三个点的研究既用了代数法,又用了几何法,后两个点的研究只用了代数法,希望这些研究方法能对同学们有所启发,在遇到由此改编的试题的时候能够选用恰当的方法.
为了减少作图和便于比较,我们把以下说明相关结论所需的图形全部放在一个整体的图形中,我们把这个图叫做五点图,如下图所示.
1. 点O(0,0)处的三点共线及过点
F,0的弦
过F,0任作直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,过A,B两点分别作准线x=-的垂线,垂足为A1,B1,O为坐标原点,则A,O,B1三点共线,A1,O,B三点共线.
证明 (几何法)连结AB1,交x轴于O1点,已知AA1∥FK∥BB1,由抛物线定义,得AA1=AF,BB1=BF,于是=====,所以O1F=O1K,即O1为KF的中点,即O与O1重合.所以A,O,B1三点共线,同理可证A1,O,B三点共线.
(代数法)设直线AB的方程为x=λy+,与y2=2px联立,得y2-2pλy-p2=0,显然Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2.又B1-,y2,所以kOA==,kOB1==,所以kOA=kOB1,即A,O,B1三点共线,同理可证A1,O,B三点共线.
2. 点K-,0处的角平分及过点
F,0的弦
过F,0任作直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,点K-,0为定点,则∠AKF=∠BKF.
证明 (几何法)过A,B分别作准线x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,延长BB1,交AK的延长线于B2.由AA1∥FK∥BB1及AA1=AF,BB1=BF,得====,所以BB1=B1B2.又B1K⊥BB2,?摇所以∠B2KB1=∠BKB1,又∠B2KB1+∠AKF=90°,∠BKB1+∠BKF=90°,所以∠AKF=∠BKF.
(代数法)设直线AB的方程为x=λy+,与y2=2px联立,得y2-2pλy-p2=0,显然Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,又K-,0,所以kKA+kKB=+=+=+=+=0,所以kKA=-kKB,即KA,KB的倾斜角互补,所以∠AKF
=∠BKF.
3. 点F,0 处的垂直
过F,0任作直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,过A,B两点分别作准线x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,则A1F⊥B1F.
证明 (几何法)由定义,AF=AA1,所以∠AFA1=∠AA1F=(180°-∠FAA1).又BF=BB1,所以∠BFB1=∠BB1F=(180°-∠FBB1),所以∠AFA1+∠BFB1=180°-(∠FAA1+∠FBB1).又因为BB1∥AA1,所以∠FAA1+∠FBB1=180°,∠AFA1+∠BFB1=90°,所以∠A1FB1=90°,即A1F⊥B1F.
(代数法)设直线AB的方程为x=λy+,与y2=2px联立,得y2-2pλy-p2=0,显然Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,所以 kFA1•kFB1=•===-1,所以FA1⊥FB1.
另外,涉及三点O,K,F的直角梯形ABA1B1中,有以下六个直线与圆相切的关系.
过F,0任作直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,过A,B两点分别作准线x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,交y轴于A0,B0,则有:
(1) 以AB为直径的圆与A1B1相切,以A1B1为直径的圆与AB相切;
(2) 以AF为直径的圆与OA0相切,以OA0为直径的圆与AF相切;
(3) 以BF为直径的圆与OB0相切,以OB0为直径的圆与BF相切.
这六个直线与圆相切的关系很容易证明,有兴趣的同学可以尝试证明.
4. 以点M(p,0)为圆心的圆
以M(p,0)为圆心,以MO为半径的圆与抛物线y2=2px(p>0)有且只有一个公共点O,也就是说,在抛物线上所有点中,以顶点O到M的距离最小.
事实上,我们可以证明:
当点M(m,0)中的m≤p时,抛物线上与M(m,0)距离最小的都是顶点O;而当m>p时,距离M(m,0)最近的点不是原点O,而是两个点,这两个点的横坐标都是m-p.
证明 设P(x,y)是抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,又M(m,0),所以PM2=(x-m)2+y2=[x-(m-p)]2+2mp-p2.
注意到x≥0,所以若m-p≤0,即m≤p时,则当x=0时,PM2最小,即PM最小,最小值为m;若m-p>0,即m>p时,则当x=m-p时,PM2最小,即PM最小,最小值为.
5. 过点N(2p,0)的弦及点O(0,0)处的垂直过N(2p,0)作抛物线y2=2px(p>0)的弦EF,O为原点,则OE⊥OF.
证明 设直线EF的方程为x=λy+2p,与y2=2px联立,得y2-2pλy-4p2=0,显然Δ>0.设E(x1,y1),F(x2,y2),则y1y2=-4p2,于是kOE•kOF====-1,所以OE⊥OF.
1. (2001年全国卷)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点O.
2. (2009年湖北卷)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于M,N两点,自M,N向准线l作垂线,垂足分别为M1,N1,求证:FM1⊥FN1.
3. 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,在x轴上是否存在点Q,使得无论AB怎样运动,都有∠AQF=∠BQF ?证明你的结论.
4. 向一个轴截面为抛物线x2=2py(p>0)型的杯子里装一个半径为r的球,当r满足什么条件时,球可以滑到杯子的底部(与顶点相切).
5. 过N(2p,0)的抛物线x2=2py(p>0)的弦为EF,求证:以EF为直径的圆过定点,并求出定点坐标.
1. 提示 参考文中点O(0,0)处的三点共线,可以利用代数法或者几何法.
2. 提示 参考文中点F,0处的垂直,可以利用代数法或者几何法.
3. 提示 参考文中点K-,0处的角平分,可以利用代数法或者几何法.
4. 提示 由文中以M(p,0)为圆心的圆的结论,可知r≤p.
5. 过定点O(0,0).