在抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上有五个重要的点，即O（0，0），K-，0，F ，0，M （p，0），N（2p，0），与这五点相关的高考试题非常多.本文对这五个点做一个简单的总结，其中前三个点的研究既用了代数法，又用了几何法，后两个点的研究只用了代数法，希望这些研究方法能对同学们有所启发，在遇到由此改编的试题的时候能够选用恰当的方法.

　　为了减少作图和便于比较，我们把以下说明相关结论所需的图形全部放在一个整体的图形中，我们把这个图叫做五点图，如下图所示.

　　1. 点O（0，0）处的三点共线及过点

　　F，0的弦

　　 过F，0任作直线交抛物线y2=2px（p＞0）于A，B两点，过A，B两点分别作准线x=-的垂线，垂足为A1，B1，O为坐标原点，则A，O，B1三点共线，A1，O，B三点共线.

　　 证明 （几何法）连结AB1，交x轴于O1点，已知AA1∥FK∥BB1，由抛物线定义，得AA1=AF，BB1=BF，于是=====，所以O1F=O1K，即O1为KF的中点，即O与O1重合.所以A，O，B1三点共线，同理可证A1，O，B三点共线.

　　（代数法）设直线AB的方程为x=λy+，与y2=2px联立，得y2-2pλy-p2=0，显然Δ＞0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-p2.又B1-，y2，所以kOA==，kOB1==，所以kOA=kOB1，即A，O，B1三点共线，同理可证A1，O，B三点共线.

　　2. 点K-，0处的角平分及过点

　　F，0的弦

　　 过F，0任作直线交抛物线y2=2px（p＞0）于A，B两点，点K-，0为定点，则∠AKF=∠BKF.

　　 证明 （几何法）过A，B分别作准线x=-的垂线，垂足分别为A1，B1，延长BB1，交AK的延长线于B2.由AA1∥FK∥BB1及AA1=AF，BB1=BF，得====，所以BB1=B1B2.又B1K⊥BB2，?摇所以∠B2KB1=∠BKB1，又∠B2KB1+∠AKF=90°，∠BKB1+∠BKF=90°，所以∠AKF=∠BKF.

　　（代数法）设直线AB的方程为x=λy+，与y2=2px联立，得y2-2pλy-p2=0，显然Δ＞0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-p2，又K-，0，所以kKA+kKB=+=+=+=+=0，所以kKA=-kKB，即KA，KB的倾斜角互补，所以∠AKF

　　=∠BKF.

　　3. 点F，0 处的垂直

　　 过F，0任作直线交抛物线y2=2px（p＞0）于A，B两点，过A，B两点分别作准线x=-的垂线，垂足分别为A1，B1，则A1F⊥B1F.

　　 证明 （几何法）由定义，AF=AA1，所以∠AFA1=∠AA1F=（180°-∠FAA1）.又BF=BB1，所以∠BFB1=∠BB1F=（180°-∠FBB1），所以∠AFA1+∠BFB1=180°-（∠FAA1+∠FBB1）.又因为BB1∥AA1，所以∠FAA1+∠FBB1=180°，∠AFA1+∠BFB1=90°，所以∠A1FB1=90°，即A1F⊥B1F.

　　（代数法）设直线AB的方程为x=λy+，与y2=2px联立，得y2-2pλy-p2=0，显然Δ＞0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-p2，所以 kFA1•kFB1=•===-1，所以FA1⊥FB1.

　　另外，涉及三点O，K，F的直角梯形ABA1B1中，有以下六个直线与圆相切的关系.

　　过F，0任作直线交抛物线y2=2px（p＞0）于A，B两点，过A，B两点分别作准线x=-的垂线，垂足分别为A1，B1，交y轴于A0，B0，则有：

　　（1） 以AB为直径的圆与A1B1相切，以A1B1为直径的圆与AB相切；

　　（2） 以AF为直径的圆与OA0相切，以OA0为直径的圆与AF相切；

　　（3） 以BF为直径的圆与OB0相切，以OB0为直径的圆与BF相切.

　　这六个直线与圆相切的关系很容易证明，有兴趣的同学可以尝试证明.

　　4. 以点M（p，0）为圆心的圆

　　 以M（p，0）为圆心，以MO为半径的圆与抛物线y2=2px（p＞0）有且只有一个公共点O，也就是说，在抛物线上所有点中，以顶点O到M的距离最小.

　　事实上，我们可以证明：

　　当点M（m，0）中的m≤p时，抛物线上与M（m，0）距离最小的都是顶点O；而当m＞p时，距离M（m，0）最近的点不是原点O，而是两个点，这两个点的横坐标都是m-p.

　　 证明 设P（x，y）是抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，又M（m，0），所以PM2=（x-m）2+y2=［x-（m-p）］2+2mp-p2.

　　注意到x≥0，所以若m-p≤0，即m≤p时，则当x=0时，PM2最小，即PM最小，最小值为m；若m-p＞0，即m＞p时，则当x=m-p时，PM2最小，即PM最小，最小值为.

　　 5. 过点N（2p，0）的弦及点O（0，0）处的垂直过N（2p，0）作抛物线y2=2px（p＞0）的弦EF，O为原点，则OE⊥OF.

　　 证明 设直线EF的方程为x=λy+2p，与y2=2px联立，得y2-2pλy-4p2=0，显然Δ＞0.设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1y2=-4p2，于是kOE•kOF====-1，所以OE⊥OF.

　　1. （2001年全国卷）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.

　　2. （2009年湖北卷）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，自M，N向准线l作垂线，垂足分别为M1，N1，求证：FM1⊥FN1.

　　3. 设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，在x轴上是否存在点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQF=∠BQF ？证明你的结论.

　　4. 向一个轴截面为抛物线x2=2py（p＞0）型的杯子里装一个半径为r的球，当r满足什么条件时，球可以滑到杯子的底部（与顶点相切）.

　　5. 过N（2p，0）的抛物线x2=2py（p＞0）的弦为EF，求证：以EF为直径的圆过定点，并求出定点坐标.

　　1. 提示 参考文中点O（0，0）处的三点共线，可以利用代数法或者几何法.

　　2. 提示 参考文中点F，0处的垂直，可以利用代数法或者几何法.

　　3. 提示 参考文中点K-，0处的角平分，可以利用代数法或者几何法.

　　4. 提示 由文中以M（p，0）为圆心的圆的结论，可知r≤p.

　　5. 过定点O（0，0）.