例谈用导数证明不等式

　　□ 李安成

　　对于证明形如f（x）＞g（x）的不等式，不妨构造函数G（x）=f（x）-g（x）（或将f（x）＞g（x）适当变形），借助导数，利用单调性来证明.它比传统的方法显得更简单、更易行、更有效.

　　 例1 当x＞0时，求证：ln（1+x）＞x-x2成立.

　　简析 构造函数f（x）=ln（x+1）-x-x2， 因为f（x）在（0，+∞）内可导，从而可通过考查f（x）的单调性来证.

　　 证明 设f（x）=ln（x+1）-x-x2，则f ′（x）=-1+x=.

　　当x＞0时， f ′（x）＞0，所以 f （x）在（0，+∞）上是增函数.于是f （x）＞f （0）=0，即ln（x+1）-x-x2＞0.

　　所以当x＞0时，ln（1+x）＞x-x2成立.

　　 例2 已知函数f （x）=x-sinx，若x∈［0，π］，θ∈（0，π），求证：≥f.

　　简析、 本题用常规方法证明比较复杂，计算量也大；若通过构造函数g（x）=-f，用单调性证明，则显得比较简单，易于理解.

　　 证明 设g（x）=-f ，则g（x）=-+sin，g′（x）=-cosx+cos.

　　又x∈［0，π］，θ∈（0，π），所以∈（0，π）.

　　由g′（x）=0，得x=θ，而当x∈（0，θ）时，g′（x）＜0，即

　　g（x）为减函数；当x∈（θ，π）时， g′（x）＞0，即g（x）为增函数.

　　又因为g（x）在区间［0，π］上连续，所以g（θ）是g（x）的最小值.

　　所以对于x∈［0，π］，有g（x）≥g（θ）=0成立，从而≥f .

　　 例3 已知i，m，n∈N*且1＜i≤m＜n，证明：（1+m）n＞（1+n）m.

　　简析 该题可用二项式定理或其他方法来证，但都显得复杂.欲证（1+m）n＞（1+n）m成立，只需证ln（1+m）＞ln（1+n）成立，故可构造函数f （x）=ln（1+x），利用单调性证明.

　　 证明 因为 1＜i≤m＜n且 i，m，n∈N*，所以n＞m≥2.

　　设f（x）=ln（1+x）（x∈R且x≥2），则f ′（x）=

　　.

　　又x≥2，所以0＜＜1，而 ln（1+x）＞ln（1+2）=ln3＞1，所以f ′（x）＜0.于是f（x）在［2，+∞）内是减函数.

　　又因为n＞m≥2，所以f（m）＞f（n），即ln（1+m）＞ln（1+n），故（1+m）n＞（1+n）m成立.

　　 例4 证明对任意的正整数n，不等式ln+1＞-都成立.

　　简析 观察题目结构的特点，可令x=，则x∈（0，+∞），原不等式可简化为ln（x+1）＞x2-x3.

　　 证明 设f（x）=ln（x+1）+x3-x2，则f′（x）= .

　　显然当x∈［0，+∞）时，f ′（x）＞0，所以函数f （x）在［0，+∞）上单调递增.所以当x∈（0，+∞）时，恒有f （x）＞f（0）=0，即ln（x+1）+x3-x2＞0，即ln（x+1）＞x2-x3成立，

　　故对任意正整数n，都有ln+1＞-成立.

　　 例5 已知f（x）=，对任意正实数t，记gt（x）=x-t，求证：当x＞0时，f （x）≥gt（x）对于任意正实数t恒成立.

　　简析 “反客为主”，构造关于t的函数G（t）=

　　f （x）-gt（x），则证明过程比较简洁.

　　 证明 设G（t）=f（x）-gt（x），则G′（t）=-t-（x-t）（t＞0）.

　　令G′（t）=0，得t=x3，当0＜t＜x3时，G′（t）＜0；当t＞x3时，G′（t）＞0.

　　所以当t=x3时，G（t）在（0，+∞）内取得最小值，即G（t）≥G（x3）=0.

　　因此x＞0，t＞0时，f （x）≥gt（x）恒成立.

　　例谈用导数解决不等式“恒成立”、

　　“能成立”问题

　　□ 赵春雷 常国庆

　　在解不等式类题目时，我们经常会碰到“恒成立”、“能成立”等关键词，然后求参数的范围.那么对于这类问题，我们一般有什么样的解题方法呢？在解题思想方面，主要是理解“恒成立”及“能成立”所表达的含义.如：在区间［a，b］上f（x）≤c恒成立，则f（x）在区间［a，b］上的最大值小于等于c；在区间［a，b］上使得f（x）≤c能成立，则f（x）在区间［a，b］上的最小值小于等于c.

　　但是如果不等式的另外一侧不是一个常数，而是一个函数的话，如在区间［a，b］上f（x）≤g（x）恒成立，则需先将其转化为不等式一侧为常数的形式，即转化为f（x）-g（x）≤0（或g（x）-f（x）≥0），此时f（x）-g（x）在区间［a，b］上的最大值小于等于0（或g（x）-

　　f（x）在区间［a，b］上的最小值大于等于0）.

　　在解题的过程中，一般有两种方法：一是直接求解最值；另一种方法是先进行参数分离，再求分离后函数的最值，最后得到参数的范围.下面让我们通过几个经典例题一起来体会其中的方法.

　　 例1 已知函数g（x）=x++1，（c＞0），若在［1，2］上g（x）＜c恒成立，求c的取值范围.

　　 解法一 由题意，g（x）在［1，2］上的最大值小于c，又g′（x）=1-=，

　　所以当0≤x＜时，g′（x）＜0，即g（x）在［0，）上单调减；当x≥时，g′（x）≥0，即g（x）在［，+∞）上单调增.

　　又x∈［1，2］，所以g（x）只可能当x=1或x=2时取得最大值，且g（1）=2+c，g（2）=3+.所以当0＜c≤2时，g（x）的最大值为g（2）=3+，由题意3+＜c，所以c＞1，1＜c≤2；当c≥2时，g（x）的最大值为g（1）=c+2，由题意c+2＜c，所以c＞，c≥2.

　　综上所述，c＞1.

　　 解法二 由题意，x++1＜c在［1，2］上恒成立，所以c＞=在［1，2］上恒成立.

　　令h（x）=，则c大于h（x）在［1，2］上的最大值.

　　因为h′（x）=，又x∈［1，2］，所以h′（x）＞0，所以h（x）在［1，2］上单调增，即h（x）在［1，2］上的最大值为h（2）=1，所以c＞1.

　　点评 这个例题就是“恒成立”问题.我们可以看到解法一“直接求解最值”和解法二“先分离参数，再求解最值”这两条路径都可以方便地得到最后的答案.但是有的时候，我们却需要在这两者之间选择一个更好的方法来进行解题.

　　 变式 已知函数g（x）=x++1（c＞0），在区间［1，2］上存在x使得g（x）＜c成立，求c的取值范围.

　　 解 这个题目用上面的解法二来解决.

　　由c＞，令h（x）=，即在区间［1，2］上存在x使得c＞h（x）成立，则c大于h（x）在［1，2］上的最小值.

　　又x∈［1，2］，所以h′（x）＞0，所以h（x）在［1，2］上单调增，所以h（x）在［1，2］上的最小值为h（1）=，即c＞.

　　点评 这个变式属于“存在性”问题，我们采用解法二来解决.如果用解法一来解这个题目，可以发现求g（x）在区间［1，2］上的最小值时，为了确定最小值在何时取到，需要经过多个步骤的讨论，比较困难，而且也不容易计算出正确的结果.在“存在性”问题中有这种情形，在“恒成立”问题中也有类似的情形发生.

　　 例2 已知函数f（x）=x3-bx，不等式f（x）+2b≥0对任意的x∈［1，4］恒成立，求实数b的取值范围.

　　 解 由题知x3-bx+2b≥0，即（x-2）b≤x3.

 

① 当x-2=0，即x=2时，0≤8恒成立，b∈R.

　　② 当x-2＜0，即x∈［1，2）时，有b≥在x∈［1，2）上恒成立.

　　令h（x）=，则h′（x）=＜0，即h（x）在x∈［1，2）上单调减，所以［h（x）］max=h（1）=-1，b≥-1.

　　③ 当x-2＞0，即x∈（2，4］时，有b≤在x∈（2，4］上恒成立.

　　令h（x）=，则h′（x）=，所以在（2，3）上h′（x）＜0，即h（x）在（2，3）上单调减；在（3，4）上h′（x）＞0，即h（x）在（3，4）上单调增，所以［h（x）］min=h（3）=27，即b≤27.

　　综上所述，b∈［-1，27］.

　　点评 这个例题属于“恒成立”问题，我们采用解法二来解决.如果用解法一来解这个题目，可以发现求g（x）在x∈［1，4］上的最小值时，为了确定最小值在何时取到，需要经过多个步骤的讨论，比较困难.因此，我们先通过分离参数法进行一个转换，然后再求解.

　　 例3 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，若在定义域上2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围. 解 由2f（x）≥g（x），得2f（x）-g（x）≥0，即ax≤2xlnx+x2+3.

　　又x＞0，所以a≤2lnx+x+.设h（x）=2lnx+x+，因为在定义域上2f（x）≥g（x）恒成立，所以a小于等于h（x）的最小值.

　　又h′（x）=，所以当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，即h（x）在定义域上的最小值为h（1）=4，所以a≤4.

　　点评 这个例题就必须要先转化，然后才能求解的.这个例题很容易产生错解，而且比较典型的错解是：求出2f（x）的最小值和g（x）的最大值，然后满足2［f（x）］min≥［g（x）］max.此处错误的原因是不等号的两侧都是函数，都在不断的变化过程中，所以必须先转化为不等号的一侧是函数，另一侧是常数，然后再求解.

　　通过以上几个例题，我们可以发现，无论是“恒成立”的问题，还是“存在性”的问题，往往都要通过求最值来完成.而在求最值的过程中，解题的第一步应先转换为不等号一侧为函数，另一侧为常数.再继续往下求解时有时可以直接求解，有时则需要分离参数以后才能求解最值.一般情况下，先分离参数，再求解最值会使解题变得轻松、自然.希望以上这几个例题中所涉及的方法能对同学们的解题有一定的帮助.