揭开洛仑兹变换神秘面纱（洛变完整的数学推导过程）
（戚华建）
洛仑兹变换，是爱因斯坦相对论的时空理论的基础，相对论的质速关系式等运动公式也都以洛仑兹变换为基础。在“维相”和“反相”的理论学术讨论中，重点往往都是洛仑兹变换，即“洛变”是怎样推导出来的，推导在逻辑上是否合法，等。洛仑兹变换，在教科书里没有详细完整的推导过程，所以，我下面先详细把洛仑兹变换数学形式的完整的推导过程作一介绍。
在洛仑兹变换中，先假设有两个惯性系S和S’他们的坐标轴彼此平行，且当t’=t=0时，二坐标系的原点O和O’重合。S系坐标由（x,y,z,t）时空点表示，S’系坐标由（x’,y’,z’t’）时空点表示，事件P。
洛仑兹变换完整的数学推导如下：
y’=y
z’=z (1) (说明x’平行于x) 接着，设：
x=ax’+bt’
x’=ax-bt (2)
（注：上述(2)从哪里导出的，放在最后介绍。先设x’=0, 方程(2) 下式两边加bt,于是方程(2)变成bt=ax,所以）
dx/dt=b/a (3)
因为距离x/时间t=速度v， dx/dt=v,
所以，b/a=v. (4)
再设：x=ct
x’=ct’ (5) 把(5)代入(2)，得：
ct=act’+bt’
ct’=act-bt (6)
先把上式(6)方程右边的两项式中的t’和t提出来，再把两项式中的b根据(4)换成av，再把a从两项式中提出来，于是得到：
ct=a(c+v)t’
ct’=a(c-v)t (7) 上下 两式相乘，得
c^tt’=a^(c^-v^)tt’ (8) 两边消去t’，得
c^t=a^(c^-v^)t (9)
再上式两边除于c^，右边等于乘1/c^得到：
t=(1/c^)a^(c^-v^)t. (10)
再上式两边除于t，得到：
1=(1/c^)a^(c^-v^) (11)
再求上式(11)a^值，方程两边除c^/c^-v^/c^ ：
1 1
a^= ------------------------ = ----------------------- (12)
c^/c^-v^/c^ 1-v^/c^
再上式(12)两边开方，得：
a=1/√￣1-v^/c^. (13)
因为b=av,所以：
b=(1/√￣1-v^/c^)v = v/√￣1-v^/c^. (14)
再把(13)(14)两式的a,b代入(2)
x=ax’+bt’
x’=ax-bt 得到：
x= (1/√￣1-v^/c^)x’ + (v/√￣1-v^/c^)t’, 把1/√￣1-v^/c^从两项式中提出来，就变成：
= 1/√￣1-v^/c^(x’+vt’) (15)
x’= (1/√￣1-v^/c^)x - (v/√￣1-v^/c^)t
= 1/√￣1-v^/c^(x -vt) (16)
再把
x=ct
x’=ct’ 代入上式(15)：
x = 1/√￣1-v^/c^(x’+vt’) 把左边的x变换成 ct:
ct = 1/√￣1-v^/c^(x’+vt’) 再方程两边除于c，等于乘1/c：
t = [1/√￣1-v^/c^(x’+vt’)] 1/c
t = 1/√￣1-v^/c^(x’/c + vt’/c) 先把x’变换成ct’:
t = 1/√￣1-v^/c^(ct’/c + vt’/c) 把第一项的分子分母中的c约掉，第二项的t’变换成 x’/c:
t = 1/√￣1-v^/c^[t’ + (vx’/c)/c] 因为，(vx’/c)/c= (vx’/c)1/c, 所以：
t = 1/√￣1-v^/c^(t’+ v/c^x’). (17)
x’式变换同上，可得
t’=1/（√￣1-v^/c^）(t-v/c^x) 。 (18)
到此，相对论中对洛仑兹变换数学形式的推导过程结束。可是，我们看到，式(17)(18)作为方程式，还没有推导完整，因为在(17)中，t’还可以消掉；在(18)中，t也还可以消掉。我们从下面的(2)可以求出：
x=ax’+bt’
x’=ax-bt. (2)
t’=(x-ax’)/b
t=(ax-x’)/b. (19)
我们把(19)的t’和t代入(17)(18)式的右边的t’和t，得到：
t’=1/（√￣1-v^/c^）{[(ax-x’)/b] –(v/c^x)}
t=1/(√￣1-v^/c^) {[(x-ax’)/b]+(v/c^x’)} (20)
接下来，我们把(20)相除：
t’ 1/（√￣1-v^/c^）{[(ax-x’)/b] –(v/c^x)}
--- = -------------------------------------------------------------÷ (21)
t 1/(√￣1-v^/c^) {[(x-ax’)/b] + (v/c^x’)}
再把(21)中的分子和分母的相同的公倍数1/√￣1-v^/c^约掉，得到：
t’ [(ax-x’)/b] –(v/c^x)
---- = -----------------------÷ (22)
t [(x-ax’)/b]+(v/c^x’)
到此，洛仑兹变换才可以说，推导完整。——显然我们从(22)看到，当x’=x，|-x’|=|x|时，不管a,b和v/c^取什么值，(22)的时间t’和t的绝对值相等，即|t’|=|t|.我们还看到，时间t’和t的变化只跟空间x’和x的变化有关，而与自身t’和t无关. 所以，爱因斯坦相对论中，认为时间本身是相对的，t’的变化与t有关的观点是明显错误的.
接下来，我们来检查，洛仑兹变换在逻辑上是否自洽。显然，我们看到从(3)到(22)的数学推导在逻辑上都是合法的，无懈可击的，所以我们只要证明了(2)式的推导在逻辑上自洽，那么，洛仑兹变换在逻辑上就完美无缺了。
因为我们还可以从(2)：
x=ax’+bt’
x’=ax-bt (2) 导出：
把x=ax’+bt’ 移项，可得到：
ax’=x-bt’
两边同除以a，得：
x’=1/a(x-bt’) (2’)
于是(2)式就变成：
x’=1/a(x-bt’)
x’=ax-bt (2’)
显然我们从形式上看到，上式(2’)的x’≠x’。如果这是真的，那么显然整个洛仑兹变换在逻辑上就不自洽，也就是说，整个洛仑兹变换就要推翻。所以，洛仑兹变换若要自洽，就还要必须在逻辑上证明上式(2’)的x’=x’。接下来，我来证明：
因为，洛仑兹变换的前提是“原点O'与O重叠，t'=t=0”。
所以，当在t'=t=0时，
x’=ax-bt
x’=1/a(x-bt’) (2’)
右边的“bt=bt'=0”;于是得到：
x'=ax
x'=x/a;
a=x'/x
a=x/x'。 (把方程组相乘，求a，得到)
a^=（x'/x）×（x/x'）=1. 因此，a^=a=1.
当a=（x'/x）×（x/x'）=1时，x'=ax ,x'=x/a就是：
x'=x，（也就是x'和x在原点重叠的刻度）
因为x’=x，x=x，所以x’=x’。(2’)式得到证明。也从而证明了洛仑兹变换在逻辑上是自洽的。
洛仑兹变换无疑是人类逻辑思维的杰作。