作者是一个按揭贷款的消费者，选择了“等额法”还款方式。最近从报纸、电视、互联网上看到了关于“递减法”和“等额法”两种还款方式的“争议”。从争议双方银行和消费者两边看，都好象有道理。正所谓公说公有理，婆说婆有理。银行方面说两种方式都是央行规定的，计算原则都一样，都是合理的，本质上一样。消费者方面说两种方式所付利息有明显差别。银行有意误导消费者多收利息。真理只有一个。这里有一个问题：似乎银行和消费者之间有一方是错的。本文就这个问题进行解析分析，从本质上区分两种还款方式的区别。让银行和消费者明明白白。

一、两种还款方式的定义

中央银行规定的银行按揭贷款还款方式有两种。两种方式还款时都包含了本金与利息。用公式表达就是

                                  （ 1 ）

其中 是第j次还款总金额， 是第j次还款本金金额， 第j次还款利息金额。每次还款后总本金余额都减少，

                                 （ 2 ）

这是一个递推公式。 是第j次还款前的本金余额， 是第j次还款后的本金余额，显然 ， ， 是贷款总额即总本金。

具体地，第一种还款方式是每期（一般是月）平均还贷款的本金与当月的利息。有，

                                      （ 3 ）

                                   （ 4 ）

其中 是还款期数， 是月利率。因为每期还贷款本金相等，公式（3）中 与j无关是一个恒量，称为“等额本金法”。随着一期一期还款，贷款本金余额逐渐减小，即 随着j增大而减小，那么 也必然随着j增大而减小，就是每期利息逐渐减少。这种还款方式每期还款金额是递减的，这种方法又称为“递减法”。

第二种还款方式是每期还贷款的本金和利息合计是相等的，称为“等额本息法”，有

                               （ 5 ）

显然，公式（5）与j 无关，每期还款额相等，又称为“等额法”。“等额法”的本金公式是递推公式（2），利息公式是公式（4）。

 

二、两种还款方式的还款总本金和总利息

1．              递减法

“递减法”的还款总本金就是对公式（3）两边求和。有

      还款总本金                （ 6 ）

这是当然的，还款结束必然还清总贷款额。还款总利息是对公式（4）两边求和。有，

还款总利息                    （ 7 ）

结合公式（1）和（5）， 是一个递减的等差数列，初值是 ，公差是 。按等差数列和的公式就是，

还款总利息                         （ 8 ）

 

2．              等额法

“等额法” 的还款总本金就是对公式（2）两边求和。有

      还款总本金   

（ 9 ）

这也是当然的，还款结束必然还清总贷款额。还款总利息就是对公式（1）两边求和。有，

 

为还款利息总额。结合公式（5）和（9）， 是一个与j无关恒量。有，

                           （ 10 ）

这与公式（8）的结果显然是不同的。即两种方式所付利息总额是不同的。

 

三、两种方式比较分析

1．              利息总额的简单比较

公式（8）和公式（10）给出了两种还款方式利息总额的解析表达。当 时，两种方式的利息总额都是 。这显然是合理的， 时两种方式没有本质区别。对公式（10）进行变换，

由于 是比1小很多的月利率，再对 进行泰勒展开并整理，

              （ 11 ）

对公式（11）忽略高阶无穷小项，当 不大时， 相对1还是小量，并再次应用泰勒展开，

再次忽略高阶无穷小项并整理

                （ 12 ）

与公式（8）相比，“等额法”要比“递减法”多付利息 。

   。                      （ 13 ）

这个结果运用了两次近似处理，有一定的误差。但可以定性说明“等额法”要比“递减法”多付利息。这正是消费者觉得冤枉的原因。

 

2．              本质性比较

前面的比较只是对每期利息的简单相加。我们知道金钱是有时间价值的。不同时间的钱是不能简单用金额相加的。极端的例子1960年的一元钱与现在的一元钱相比价值可大了。是否他们就不能比呢？金融学采用了贴现率来量度金钱的时间价值。比方现在的一元钱贴现到10年前是 ， 是年贴现率（利率）。相反10年前一元钱积累到现在的是 。所以我们不能将不同期还款所付的利息简单相加。我们选择最后一期还款作为比较的时点，考虑金钱的时间价值，积累率用贷款利率，进行比较。

“等额法”每期还款相同，第j期还款的金额积累到最后一期的价值由公式（5）得，

。

从第一期加到最后一期就是

                          （ 14 ）

是所有还款在最后一期时的价值。显然公式（14）是一个公比为 的等比数列的和。运用等比数列的求和公式，有

（ 15 ）

再来看“递减法”的情况。第j期还款的金额积累到最后一期的价值由公式（1）、（3）、（4）得，

从第一期加到最后一期就是

                    （ 16 ）

公式（16）的第一项用公式（2）代换，并展开，有

上式中第一个中括号中的第二项与第三个中括号中的第二项的和正好与第二个中括号中的第一项抵消。依次类推，最后，剩下第一个中括号中的第一项，第二个中括号中的最后一项，第三个中括号中的第一项，就是

由于 ，合并得

                             （ 17 ）

这里与公式（15）的结果是相同的。也就是说站在最后一次还款时点来看，两种还款方式所还款金额的价值是相等的。这正好是银行贷款总额的现值相吻合。

反过来，可选择发放贷款时作为比较的时点，考虑金钱的时间价值，贴现率用贷款利率，进行比较。类似的计算过程表明两种还款方式的各期还款金额贴现到贷款发放时正好都等于银行贷款本金。

还有一种比较方法，就是将两种还款方式每期还款金额的差，考虑金钱的时间价值，即按贷款利率积累到最后一次还款时点或贴现到发放贷款时点进行累加。显然，累加的结果都是等于零的。就是说“递减法”比“等额法”前期多付金额与后期少付的金额在考虑时间价值后是相等的。

四、结语

银行按揭的两种还款方式，在金钱的价值本质上是一样，不存在谁吃亏谁沾光的问题。作为消费者，选择哪种方式完全是个人喜好或由个人财政状况和投资能力确定，这就象选择还款期限一样。作为银行，完全没有必要诱导或限定哪一种还款方式。资金回笼快，可以再贷出去，赚更多的手续费。总之，这样的“争议”甚至打官司完全没有必要。