有趣的多项式系数－－三项式系数的空间规则
中国人民银行保山地区分 行 周易达
保山师范高等专科学校数学系 陈春江
摘要：本文从二项式系数的规律－－杨辉三角形谈起，进而引深出三项式系数的规律－－周易三角形和四项式系数的规律－－周易四面体。
提起二项式，人们就会情不自禁的想起杨辉三角形。杨辉将Ｎ次二项式的系数写成一行，然后将其相邻的系数分别相加，得到一组序列，再在序列的前后各添一项“
其实，杨辉三角形如果按单个二项式来考虑的话，它只能算是杨辉线段形，也就是一维空间。而三项式、四项式、五项式以至Ｎ项式，它们的系数也同样存在着类似的规律：“在Ｎ次式的基础上，用简单的加法可以得到Ｎ＋１次式的系数”。相应的它们组成的是二维、三维、四维……Ｎ－１维空间。这也体现出数学的完美之处。下面我们看看，三项式系数是如何组成二维空间的。
如果我们在每个数的上方画一个倒立的正三角形和在最后一行数的下方对空处画Ｎ＋１（如果是Ｎ次式）个正三角形，于是，每个正三角形的三个角至少有一个角对着一个数字，然后把三个角上的数相加后填入三角形中，组成一个新的三角形数据表，那么，这个新的数据表就是三项（Ｎ＋１）次式的系数。
│(x+y+z)2=
１ │x2
│+
２ ２ ＝＝〉│2xy+2yz
│+
１ ２ １ │y2+2yz+z2
依此类推，我们不难推导出三项式、四项式的系数表：
│(x+y+z)3=
１ │x3
│+
３ ３ │3x2y+3x2z
＝＝〉│+
３ ６ ３ │3xy2+6xyz+3xz2
│+
１ ３ ３ １ │y3+3y2z+3yz2+z3
│(x+y+z)4=
１ │x4
│+
４ ４ │4x3y+4x3z
│+
６ １２ ６ ＝＝〉│6x2y2+12x2yz+6x2z2
│+
４ １２ １２ ４ │4xy3+12xy2z+12xyz2+4xz3
│+
１ ４ ６ ４ １ │y4+4y3z+6y2z2+4yz3+z4
因为(x+y+z)n+1=(x+y+z)n(x+y+z)
假设(x+y+z)n=
k11xn
+k21x(n-1)y+k22x(n-1)z
+k31x(n-2)y2+k32x(n-2)yz+k33x(n-2)z2
+……+……
+kt1x(n-t+1)y(t-1)+……+kttx(n-t+1)z(t-1)
+……+……
+k(n+1)1yn+k(n+1)2y(n-1)z+……+k(n+1)nyz(n-1)+k(n+1)(n+1)zn
这里用ktj表示系数表中第t行第j列的值。
那么(x+y+z)n+1=
k11x(n+1)
+(k11+k21)xny+(k11+k22)xnz
+(k21+k31)x(n-1)y2+(k21+k22+k32)x(n-1)yz+(k22+k33)x(n-1)z2
+……+……
+(k(t-1)1+kt1)x(n-t+2)y(t-1)+……
+(k(t-1)(j-1)+k(t-1)j+ktj)x(n-t+2)y(t-j)z(j-1)+……
+(k(t-1)(t-1)+ktt)x(n-t+2)z(t-1)
+……+……
+(k(n+1)1y(n+1)+(k(n+1)1+k(n+1)2)ynz+……
+(k(n+1)n+k(n+1)(n+1))yzn+k(n+1)(n+1)z(n+1)
仔细比较两个式子系数的下标含义，不难得出：上述三项式系数表的构造法是正确的。至于四项以上的多项式系数，也有同样类似的规则，只不过它的空间图形更为复杂而已。读者不烦发挥想象力，自己试一试。