下文中，交易时间，假设不管交易量多大，交易时间固定，当然这不是现实的情况。

  一、  在两种产品时，当二个人分工合作时，求解如下：

      （1）生产y和买x的人   

              MAX  u=txd*y

                   y=（1-k）ly^α 

                   ys=k*ly^α 

                   ly=1 

                   xd=ys

    那么，U=tk（1-k）ly^2α
   

    U对K的导数=(t-2tk)ly^2α=0，则K=1/2，所以，分工合作时生产y和买x的人的效用为

    U=(t*1/4）ly^2α

（2）生产x和买y的人

 MAX  u=tyd*x

                   x=（1-k）ly^α 

                   xs=kly^α 

                   ly-c=1 

                   yd=xs

    那么，U=tk（1-k）ly^2α
   

    U对K的导数=(t-2tk）ly^2α=0，则K=1/2，所以，分工合作时生产x和买y的人的效用为

    U=(t*1/4）ly^2α

二、两个人两种产品分工总效用和自给自足总效用的比较

（1）自给自足的总效用为U1+U2=(β*1/4）ly^2α+(β*1/4）ly^2α=(β*1/2）ly^2α

（2）分工合作的总效用为U1+U2=(t*1/4）ly^2α+(t*1/4）ly^2α=(t*1/2）ly^2α

从上面的两个式子可以得出结论：

当(β*1/2）ly^2α＞(t*1/2）ly^2α，这两个人都自给自足；当(β*1/2）ly^2α＜(t*1/2）ly^2α，这两个人都分工合作。